用初中数学破解高考数学题：如何用面积公式实现转化？

【说明】

人教版的初中教材《数学-八年级上册》中介绍了三角形的重心概念和重心定理：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

然而，教材并未提供证明。我们自己动手，用面积公式来证明这一性质。

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已知：三角形中， 分别为 边的中点， 与 交于点 ， 交 边于点 .

求证： .

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三角形的三条中线交于一点

【分析】

我们用一个小学级别的问题开局：

图中有几个三角形？

回答这个问题的办法是分类点数再汇总。

大三角形1个：;

小三角形6个：,,,,,;

由两个小三角形拼成的三角形3个：,,;

由3个小三角形拼成的三角形6个：,,,,,;

综上，图中共有16个三角形.

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这16个三角形存在什么联系？

图中存在多对共高（或共边）的三角形。例如：以下3对三角形共高：

共高三角形的面积比等于底边之比。因此，由底边（线段）相等可推出面积相等；由面积相等也可以推出线段相等。

由已知条件中的两个中点可以推出几对面积相等的三角形；再利用等量传递可以推出新的面积相等，最后即可推出线段相等。

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【证明】

同理可证：

又

. 证明完毕.

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【补充说明】

目前的中学教材中对于三角形全等和相似强调得比较多；其实，在分析几何问题时，从面积的角度思考常常有意想不到的效果。张景中院士的《新概念几何》提供了更多例子，可供参考。

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【应试指南】

至此为止，我们讨论的都是初中范围的问题。可能有人会提出质疑：说好的『用初中数学破解高考题』，高考题在哪呢？
其实，本文想向大家介绍的是一种方法，就是应用面积和体积公式实现转化，面积比可以转化为线段长度之比，体积比可以转化为面积比。

从面积的角度分析几何问题，门槛低，用途广。最近十年的高考数学中，有多个考题可以用上这一方法。

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【真题实例】

2018年文科数学全国卷A题18 （立体几何）

2016年文科数学全国卷A题18（立体几何）

2014年理科数学全国卷A题20 （解析几何）

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