期望与方差之四：两个独立随机变量合并后的期望

随机变量（Random Variable）听起来是一个很复杂的概念，但是实际上并不难理解。我们重新回到本系列文章第一篇里面的数组：

                    0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

把数据的频数和概率写成表格，有：

这里，概率可以视作一个函数，输出一个概率，而变量X，只能从元素0,1,2,3之间选，因为它们是这个数据总体的四个可能值，比如。换句话说，是不存在的，因为5并不在这个数据总体之中。

概率函数

因此，我们称0,1,2,3为这个数据总体概率函数的随机变量。之所以称它们为“随机”，是因为当“从这个总体里随机抽一个数字”，总能在一定概率的情况下，抽到这四个数字之一；之所以称之为变量，是因为这些数字在概率函数里有定义，可以理解为这个概率函数定义域范围内容的元素。

接下来，我们看看什么叫独立事件（Independent event）。直观上讲，两件不存在明显关联的事件，就是独立的。比如，A玩具店有m个玩具，与B餐馆有n道菜，如没有特殊说明，一般认为m个玩具各自的价格，与n道菜各自的价格，是没有关联的。如果真有那么一个无聊的统计，把玩具和菜式价格合并起来，我们可以这样表达：

设玩具店的m个玩具，每个玩具的单价为；餐馆n道菜的单价分别为；那么，随机组合一个玩具和一道菜，总价。这就是两个独立变量的合并。

这里讨论一下。因为任意一个玩具可以任意搭配一道菜，因此，总体C的数量为。接下来，问题就是这个组合的均价是多少，或者说是多少？这是本文关心的。根据上面推论，有：

这个式子分子部分有那么多个，怎样分配会更合理呢？留意到，需要与到求和，因此必然有n个存在。同理，到都有n个。至于B，每一个都有m个。因此，上式可调整为：

=

由此，我们得到两个独立随机变量合并后的期望公式：。

同理，易证得，读者不妨尝试一下。