牛顿的质量密度定义，马赫指出，牛顿给出的质量的经典定义陷入了逻辑上的循环论证。
几年前有部热播电视剧叫《士兵突击》，王宝强饰演的许三多有句回答流传甚广：“好好活就是干有意义的事，有意义的事就是好好活！”。这句憨厚的回答传递出一种积极的生活态度，有一种鼓舞人心的力量。所以一时间成为很多人的座右铭。不过，我想说的不是生活意义的问题，以此开篇只是作为引子，从逻辑学的角度分析一些方法学上的问题。
在逻辑上，“好好活就是干有意义的事，有意义的事就是好好活！”这一陈述是典型的循环论证（circular reasoning），是逻辑谬误（logic fallacy）的一种。它把有待证明的结论作为证明该结论的前提，而这个有待证明的前提又拿结论本身来证明。也就是说，两个命题都需要证明，但却把彼此互为证明的基础。
命题1：“好好活就是干有意义的事”与命题2：“有意义的事就是好好活”，后者本意是为前者做论证，可事实上后者与前者一样是一个有待论证的命题。并且两命题前件与后件互相替换，构成一环套一环的循环模式，此所谓“循环论证”。在逻辑学上这是违背了逻辑规律的第四条“充足理由律”（由莱布尼茨提出）的结果。它的错误本质在于：思维缺乏论证性。它的错误形式往往表现为：用自身证明自身。
有一个朋友信仰基督教后，也向我极力推荐。作为一个死硬理性派，我问他：怎么证明上帝存在？他总是回答：读了《圣经》你就知道了。不难发现，这背后其实是一个经典的循环论证：“《圣经》上说上帝存在。由于圣经是上帝的话，圣经必然正确。所以上帝是存在的。”由于其论据中已经包含了命题本身，所以只要默认论据正确，那命题自然也是正确的。
这种一环套一环的论证形式显然不是在说理，不过在诡辩中倒是大有用场。循环论证的例子俯拾即是，诸如“父亲就是孩子的爸爸”、“四足动物就是有四条腿的动物”等等。从这些例子中很容易看出，循环论证陈述本身缺乏实质性内容，对于需要回答的问题，它尽管理直气壮永远正确（自己证明自己虽然不违反三大逻辑规律，但却违背充足理由律），但却毫无用处可言，说了等于没说。
不过有时候，循环论证却不是出自有意诡辩。因为埋藏很深，不但作者自己都可能会被蒙蔽。甚至可以连饱学之士也看不出来。经济学家张五常举过这样一个例子。他说，三十多年前，哈佛大学的一位经济学研究生取得博士学位，其论文不但获该校优秀论文奖，还出版成书。后来阿尔钦（A. Alchian）指出，整篇论文都是循环论证。张五常遂感叹道：一个博士的套套逻辑，可以使大名鼎鼎的哈佛经济学系的教授也看不出来，怎可低估这种逻辑的“高深”呢！
其实在科学里，无意中陷入循环论证的例子也是不胜枚举。不熟悉物理学史的读者也许会倍感诧异，其中最为著名的的一例来自伟大的物理学家艾萨克.牛顿。这一惊心动魄的科学往事，容我细细道来。
牛顿在17世纪创立古典力学体系的时候，由于受了波义耳定律（密闭空间内，一定量的空气的压强p与体积v的乘积pv为常量）的启发，将质量定义为：用物体的密度ρ和体积v的乘积ρv来量度的该物体中所含的物质的量。这一经典定义在古典力学统治物理学的二百多年中，一直被广泛使用。
直到1883年马赫【Ernst Mach,1838-1916，奥地利物理学家】提出质疑。他正确地指出，牛顿给出的质量的经典定义陷入了逻辑上的循环论证。这很容易就能看出：质量以密度来定义，而密度也只能用单位体积中的质量来定义。显然，质量与密度本质上其实是一回事，有了密度的定义，那质量的定义也就包含其中了。
为了克服定义上的逻辑困难，马赫给出了他的定义：两个相互作用的物体的相对质量，是用他们相反的加速度的反比例来量度的，这一固定比例取决于物体的固有属性，这一属性可以定义为质量。马赫的定义是以简单的实验为根据的陈述，彻底摆脱了古典力学对于质量的定义上的循环论证。
消除循环论证还有一种方式，那就是某物抵抗加于其上的作用力f的惯性，称之为质量。其大小可以量度为：作用力f与加速度a的比值，即m=f / a。这样，定义上的循环论证就此消失。值得一提的是，物理学到爱因斯坦之后，质量的本质得到了更为深刻的揭示，其定义也发生了变化。（参见广义相对论）
令人大惑不解的是，为什么显而易见的错误持续达二百多年之久？直到19世纪末马赫出版其《力学》之前，居然没有一个人对牛顿的定义提出过质疑。而这时，已经到了牛顿古典力学体系的基础即将全面崩溃的前夜。挖牛顿力学墙角的现代物理学先锋们，已经开始摩拳擦掌，准备冲锋陷阵。
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