巧借倍长中线结论解非中线问题

倍长中线是八年级几何构造全等三角形非常重要的方法。它的意思是：延长某一边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，利用中线的性质、对应边和对顶角相等，用“SAS”证明三角形全等，解决相关问题。

今天这道题，虽不是中线问题，但同样可以利用倍长中线的结论。

如图一，在△ABC中，D是AB边上一点，在AC的延长线上取CE=BD，连接DE交BC于F，若DF=EF，求证：△ABC为等腰三角形。

我们先来分析一下题意，要求证△ABC为等腰三角形，可证明AB=AC，也可证明∠B=∠ACB。

从图和已知条件来看，我们发现哪一组关系都不能直接证明，这就需要画辅助线。

如图二，在BF上找一点G，使FG=CE，连接DG。

在△DGF和△ECF中，FG=CE，DF=EF，而∠DFG和∠CFE是一组对顶角，很容易证明△DGF≌△ECF。

所以∠DGF=∠ECF，CE=DG。

又因为∠DGF与∠DGB是邻补角，∠ECF和∠ACF是邻补角。

所以∠DGB=∠ACF。

因为CE=DG，CE=BD

所以DG=BD，△DBG为等腰三角形，∠DGB=∠B

所以∠B=∠ACF，△ABC为等腰三角形。

也可以如图三，延长BC至G，使FG=BF，连接EG，证明方法与上述相似，不再赘述。