柯西-施瓦茨不等式

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-11 13:33 被阅读0次

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Cauchy-Schwarz 不等式

$\left(\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x\right)^2\leqslant\int_a^bf^2(x)\text{d}x\int_a^bg^2(x)\text{d}x$

这是一个非数考研经常会遇到的不等式 Cauchy-Schwarz 不等式

接下来给出证明

证：
$\begin{aligned} &构造一个二次函数\\ &\varphi(t)=t^2\int_a^bf^2(x)\text{d}x+2t\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x+\int_a^bg^2(x)\text{d}x\\ &\quad\;\;\;=\int_a^b\left[t^2f^2(x)+2tf(x)g(x)+g^2(x)\right]\text{d}x\\&\;\;\;\quad=\int_a^b[tf(x)+g(x)]^2\text{d}x\geqslant0\\ &所以\\ &\varphi(t)\geqslant0\\ &因此有\\ &\Delta\leqslant0\\ &\left(\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x\right)^2-\int_a^bf^2(x)\text{d}x\int_a^bg^2(x)\text{d}x\leqslant0\\ &不等式得证.\\ &易知\;f(x)\;与\;g(x)\;呈线性关系时等号成立. \end{aligned}$

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