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整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式:</br></br>
n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。</br></br>
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);</br></br>
例如但n=4时，有5个划分，{0,0,0,4},{0,0,3,1},{0,0,2,2},{0,2,1,1},{1,1,1,1};</br></br>
注意{0,0,1,3} 和 {0,0,3,1}被认为是同一个划分。</br></br>
该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
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<a>递归法</a></br>
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：</br>
（1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };
<pre><code> 因此 f(1, m) = 1;</code></pre></br>
（2）当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };</br>
<pre><code> 因此 f(n, 1) = 1;</code></pre></br>
（3）当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：
a. 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；
b. 划分中不包含n的情况，即划分中最大的数字也比 n 小，也就是 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。
<pre><code> 因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);</code></pre></br>
（4）当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n)， 转至第三种情况;</br></br>
（5） 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：
a. 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 （n - m），可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分个数为 f(n-m, m);
b. 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);
<pre><code> 因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);</code></pre>
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
<pre><code>
f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )
f(n, n); ( n < m )
1+ f(n, m - 1); ( n = m )
f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )
</code></pre>
</br>
给出代码如下（c/c++实现）
<pre>
<code>
int f(int i, int j)
{
int ret;
if (j == 1 || i == 1)//情况（1）,（2）
return 1;
else if (i == j)//情况（3）
ret = 1 + f(i,j-1);
else if (i < j)//情况（4）
ret = f(i, i);
else if (i > j)//情况（5）
ret = f(i-j,j) + f(i,j-1);
return ret;
}
</code>
</pre>
</br>
注：本文原稿摘自http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html
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