日经极限题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-05-15 13:39 被阅读0次

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$\lim_{x\to0}\dfrac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$

Sol:
$\begin{aligned} &\lim_{x\to0}\dfrac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}\\ =&\lim_{x\to0}\dfrac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e^{\frac{e\ln(1+x)}{x}}}{x^2}\\ =&e^e\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\frac{e\ln(1+x)}{x}}{x^2}\\ =&\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e\dfrac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x}}{x^2}\\ =&e^e\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e+\frac{ex}{2}}{x^2}-\dfrac{e^{e+1}}{3}\\ =&-\dfrac{e^{e+1}}{3}+e^e\lim_{x\to0}\dfrac{e-\frac{ex}{2}+\frac{11}{24}ex^2+o(x^2)-e+\frac{ex}{2}}{x^2}\\ =&\dfrac{e^{e+1}}{8} \end{aligned}$

一般.

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Sol: 一般.
日经题
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