向量空间

定义:向量空间是一个集合，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法。

• 集合对加法运算封闭，集合中任意向量，他们的和也是集合中的向量。

• 集合对标量乘法运算封闭，对于任意实数和集合中的任意向量,他们的积也是集合V的向量。

• 集合存在向量。

• 对于集合中的任意向量,在集合中存在向量，使。

• 集合中的向量满足集合律，对于集合中的任意向量，成立。

• 标量乘法满足集合律，任意实数,集合中任意向量,成立。

• 标量与向量和的乘法满足分配律，即对于任意实数，集合中的任意向量，成立。

• 标量和与向量乘法满足分配律，即对于任意实数，集合中的任意向量,。

• 包含元组向量的向量空间表示为

定义 : 对于含有个向量的集合 ,如果不存在不全为0的数,使下式成立，则向量集合线性无关。

• 反之向量集合则线性相关。

定义:向量空间的基是个线性无关向量的集合，,对于向量空间中的任意向量P,存在一组实数,使下式成立。

• 正交积
  在向量空间的基中，如果任意两个向量则基称为向量空间的正交基。

• 线性无关
  给定任意两个向量,如果,则两个向量线性无关。

• 对于向量空间的正交基，如果其中每个向量的长度均为1，则称之为规范正交基。克罗内克符号函数表示如下:
  

• 规范正交积
  在向量空间的基中，如果任意两个向量,则基 称为向量空间的规范正交基。

Gram-Schmidt 正交化算法
给定n个线性无关向量组成的集合,该算法可计算出向量集合,当时，

1. 令

2. 

3. 从向量中减去在向量上的投影，结果保存到中，即
   

4.如果,转到第三步。