线性回归是什么

线性回归（Linear Regression）模型是最简单的线性模型之一，很具代表性，甚至有学者认为，线性回归模型是一切模型之母。所以，我们的机器学习之旅，也将从这个模型开始。

在现代统计学里，统计数据会给出大量的自变量（independent variable，即一系列的解释变量）和相应的因变量（dependent variable，即输出结果），在回归分析中，其任务就是找到这两类变量之间的关系，并用某个模型描述出来。这样一来，如果我们再给出新的自变量，就能利用模型实现预测。

用形式化的语言来说，回归分析的核心任务在于，面对一系列输入、输出数据集 D，构建一个模型 T（其形式通常表现为某个函数 f(x)），使得 T 尽可能地拟合 D 中输入和输出数据之间的关系。然后，对新输入的 x_new，能应用模型 T，给出预测结果 f(x_new)。

在几何意义上，回归就是找到一条具有代表性的直线或曲线（高维空间的超平面）来拟合输入数据点和输出数据点。

回归有很多种类。按照涉及变量的多少，可分为一元回归和多元回归。按照自变量和因变量之间的关系，可分为线性回归和非线性回归。我们这里先讨论线性回归。简单来说，线性回归就是假设输入变量（x）和单个输出变量（y）之间满足线性关系。

让我们先考虑最简单的形式，输入变量（x）只有一个特征：

y=w₀+w₁x

这里，w₁ 和 w₀ 为回归系数。具体说来，权值 w₁ 为变量x的系数，权值 w₀ 为函数 y=f(x) 在 y 轴上的截距。

对于这个简易版的线性回归，我们的目标是在训练数据上进行学习，并通过拟合获得这两个权值。线性回归可看作求解样本点的最佳拟合直线，如图 1 所示。

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图 1：线性回归示意图

拟合而成的回归线与样本点之间的垂直线，就是“残差”（Residual），也就是预测值和实际值之间的误差，记为 ε_i：

残差 于是，我们的目标变为，求得一条拟合线 拟合线 ，使得误差之和 误差之和

最小。

那么如何找到这样一条直线呢？最常用的方法，就是普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS）。普通最小二乘法的主要思想就是，选择一些未知参数（即权值），以某种策略使得实际值与预测值之差的平方和达到最小。这样一来，线性回归的损失函数可表示为：

线性回归的损失函数