KMV信用风险模型的R实践

KMV模型近年来被广泛应用于上市企业信用风险评估评级，在金融风险管理领域风头正茂。KMV模型将企业的股权价值E、资产价值V和负债D整合到Black-Scholes期权定价公式中，把股权价值E看做一份标的物初始价格为V，敲定价格为D的欧式看涨期权的价格，用可以观测到的股权价值、负债、股价波动率等数据，通过求解非线性方程组来得到资产价值V及其波动率σ。下面几个公式就是KMV模型的核心。

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求解上面的非线性方程组看起来并不困难，R中的nleqslv，或者MATLAB中的fsolve应该均可胜任，R代码如下

KMVF<-function(x) {
  V0=x[1]
  sigmav=x[2]
  y <- numeric(2)
  d1<-( log(V0/D)+(r+0.5*sigmav^2)*T ) / ( sigmav*sqrt(T))
  d2<-d1-sigmav*sqrt(T)
  y[1]<-V0*pnorm(d1)-exp(-r*T)*D*pnorm(d2)-E
  y[2]<-(V0*sigmav/E)*pnorm(d1)-EquityTheta
  return(y)
}
z<-nleqslv(x0,KMVF,method="Newton",control = list(allowSingular=T))

但上述代码存在一个大问题，由于需要求解的两个参数V和σ在数量级上差异太大（一般V/σ~1e+10），用牛顿法求根时，雅可比矩阵往往是奇异的，导致算法不收敛。为了解决这个问题，有人考虑对方程组作变形处理，引入E和D的比值，以对V进行标准化处理，如下面的代码所示。

EtoD <- E/D;
KMVfun<-function(x) {
  y <- numeric(2);
  d1<-( log(x[1]*EtoD)+(r+0.5*x[2]^2)*T ) / ( x[2]*sqrt(T))
  d2<-d1-x[2]*sqrt(T)
  y[1]<-x[1]*pnorm(d1)-exp(-r*T)*pnorm(d2)/EtoD-1
  y[2]<-pnorm(d1)*x[1]*x[2]-EquityTheta
  y
}
z<-nleqslv(x0,KMVfun,method="Newton",control = list(allowSingular=T))

通过上面的变形，nleqslv能很快收敛，求得变形后方程组的根roota。这个方法在网上流传很广，然而该变形是如何推导出来的，理论上有无依据，还需费些思量。
其实除此以外，还有一个更简单直观的方法可以解决参数量级差异问题，就是将E和D按比例缩小，再将求出的V按同等比率放大。记该方法求得的根为rootx，我们用一个简单的算例比较上面两种方法求得的根。

roota
V=2.588850e+08         sigma=5.796537e-01
y1=-8.072788e+06       y2=-1.778516e-02

rootx
V=2.681669e+08          sigma=5.626448e-01
y1=8.940697e-08          y2=-6.661338e-16

资产价值上的差距达到九百万，真是失之毫厘、谬以千里，而且方程组在rootx处更接近0点，roota则看起来根本就不是原方程组的根，表明这个在网上流传甚广的方法其正确性是值得商榷的。V和sigma的值将直接影响后续的违约距离计算，不能不谨慎对待。