正交变换

作者: ltochange | 来源:发表于2021-06-01 11:42 被阅读0次

正交变换
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定义

如果对于任意向量 ${u}$ 和 ${v}$ ，其内积等于转换后向量 $T({u})$ 和 $T({v})$ 的内积，则该转换称之为正交变换

即： $\langle{u}, {v}\rangle=\langle T({u}), T({v})\rangle$

若 $\|{x}\|$ 在空间 $R^{n}$ 内, $n$ 表示维度：

$\langle{u}, {v}\rangle=\langle T({u}), T({v})\rangle=\sum_{i=0}^{n-1} u[i] v[i]$

$u[i]$ 和 $v[i]$ 分别为 ${u}$ 和 ${v}$ 中的元素

性质

按照向量模长的定义，可知正交转换后的向量模长与转换前的模长相同： $\|T({x})\|=\|{x}\|$

证明：

$\|{x}\| =(\sum_{i=0}^{n-1} x[i]^2)^{1/2} = \langle{x}, {x}\rangle$

$\|T({x})\|=(\sum_{i=0}^{n-1} T({x})[i]^2)^{1/2}=\langle T({x}), T({x})\rangle$

因为： $\langle{x}, {x}\rangle =\langle T({x}), T({x})\rangle$

所以： $\|T({x})\|=\|{x}\|$

正交变换不影响转换前后向量间的内积和模长，由此可得，正交变换也不影响转换前后两个向量的夹角

若用矩阵表示 $T({x})={A} {x}$ 为正交变换, 则 ${A}$ 为正交矩阵

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