最小数原理与无穷递降法

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-01-02 10:33 被阅读0次

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最小数原理在数学竞赛中经常被用到,其最基本的表达形式如下:

最小数原理

正整数集 $\mathbb{N}^{*}$ 的任何一个非空子集 $T$ 必有最小元素,即存在正整数 $t_{0}\in T$ ,使对任意的 $t\in T$ ,都有 $t_0\leqslant t$ .

证明

考虑集合 $S=\left\{x\vert x\in \mathbb{N}^{*},x\notin T\right\}$ ,即 $S=\mathbb{N}^{*}\backslash T$ .

若 $T$ 中没有最小元,我们证明:每一个正整数都属于 $S$ .从而导致 $T=\varnothing$ ,矛盾.

首先, $1\in S$ ,否则 $1\in T$ ,则1是 $T$ 中的最小元.

其次,设 $1,2,\cdots ,n\in S$ ,即 $1,2,\cdots ,n$ 都不是 $T$ 的元素,这时,若 $n+1\in T$ ,则 $n+1$ 为 $T$ 的最小元,这与 $T$ 中没有最小元矛盾.所以 $n+1\in S$ .

从而,由第二数学归纳法知,对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ ,都有 $n\in S$ .

所以,最小数原理成立.

具体处理问题时,我们还会用到上述原理的一些其他形式或推论.

1.最大数原理:设 $M$ 是正整数集 $\mathbb{N}^{*}$ 的非空子集,且 $M$ 有上界,即存在 $a\in \mathbb{N}^{*}$ ,使得对任意 $x\in M$ ,都有 $x\leqslant a$ .则 $M$ 有最大元.

2.任意一个由实数组成的有限集中,必有最小元素,也必有最大元素.

3.排序原理:由 $n$ 个实数组成的集合 $M$ 可以写为 $M=\left\{x_{1},\cdots,x_{n}\right\}$ ,这里 $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ .

最小数原理引导我们从极端(最小元或最大元)出发讨论问题,蕴含了“退”的思想,退到最简单而又不失去本质的地方去思考.

无穷递降源于不定方程的求解,Fermat用此方法在约400年前就证明了: $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 没有正整数解.其基本思想如下:

“如果关于正整数 $n$ 的命题 $P\left(n\right)$ 对 $n=n_{0}$ 成立,那么可以证出对某个 $n_{1}\in \mathbb{N}^{*}$ , $n_{1}<n_{0}$ ,命题 $P\left(n_{1}\right)$ 也成立.”则对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$ , $P\left(n\right)$ 都不成立.

它是最小数原理的一种表现形式,在处理数论问题,特别是不定方程时经常会用到.

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