紧性

对于赋范空间的一个集合而言，称

相对紧：任意序列有一个收敛子列，极限点可能在集合外

紧：任意序列有一个收敛子列，极限点在集合内

有界：任意点的范数小于一个常数

于是，可知紧集必然是相对紧的。

一个集合是紧的这个集合相对紧且闭

这个闭保证了收敛序列的极限点在集合内

一个集合相对紧这个集合有界

假如无界，就存在趋向无穷的序列，所有子列也自然趋向无穷

例子：实数空间与绝对值范数构成的赋范空间中，相对紧集闭集。由BW定理描述，任意有界的实数序列都有收敛子列

例子：可数维实数（复数）空间与无穷范数构成的赋范空间，相对紧集闭集。对维度进行归纳。

例子：闭区间上的连续函数空间与上界范数构成的赋范空间，有界且等度连续的集合相对紧。这个看的不太明白，使用了对角序列，一个按函数序列增长，一个按闭区间上有理数序列增长。这种序列构成了函数序列的柯西子序列，由完备性，序列收敛。等度连续是对函数空间连续性的精细描述，毕竟函数空间中的点是函数，所以需要对许许多多的函数进行连续性定义，这种依赖于函数选择的连续性就很难进行统一处理，所以需要特殊的连续性，不依赖于函数的选择，就像一致连续不依赖于点的选择一样，是一种很强的约束。

魏尔斯特拉斯定理：赋范空间中的紧子集上的连续函数有最大值和最小值。就是闭区间上连续函数具有最大最小值的推广。

定义在紧子集上的连续算子一致收敛。

巴拿赫空间中，相对紧具有限网。这个网，是不常见的术语，其实也很形象，将一个集合分成一块一块的，就像一张网，有限就是指这种划分数是有限的，这种描述其实和有限覆盖很像，任意的开覆盖具有限子覆盖，一般就是紧集的定义，相比而言，网可能更加形象可操作一点。

感觉这一块不是很理解，不过，还是要给出一些看法，紧性到底是什么？感觉有点像有限生成结构，一个紧的集合总是有限生成的，这种生成是通过有限的点的邻域构成的，所以，一般来说，紧至少意味着有界，只是不像代数中的有限生成结构，分析中的结构总是精度依赖的，存在一个小整数刻画这个生成子的大小。这个数不同，划分也就不一样。其实对于具体如何划分，也没有必要指定，只要满足数目是有限的就行了。

这个东西，感觉和非背景依赖有很多类似的地方，在动态的背景下，进行一些序列极限运算，量子引力试图引入非背景依赖的动力学描述，这东西就像拓扑一样，在一个大致的方面给出了限制，却不会指定所有的细节，允许非常的变化。虽然从抽象的角度来说就是一个多自由度系统，但是自由度实在是不好捉摸，不如替换成空间位置，时间流速，旋转角度，最大子集划分数，这样更能把握一些。

所以，有时候感觉，正交和积结构似乎是建立一个有效理论必不可少的组件，这就在基本的定理中归纳出了普适的原理。