笔记说明

在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“Introduction to Time Series Analysis”课程做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。

随机漫步

随机漫步（Random Walk, RW）过程是非平稳过程。
特点包括：

无特定均值和方差
强时依性
其差分为白噪声

递归公式： $Y_t=Y_{t-1}+ε_t$
其中 $ε_t$ 是均值为0的白噪声。

模拟数据时需要初始值 $Y_0$
随机漫步只有一个参数：白噪声方差 $σ_ε^2$

根据递归公式可以看出来随机漫步的差分（ $diff(Y)=Y_t-Y_{t-1}$ ）即为误差项，是白噪声。

带漂移项的随机漫步（Random Walk with Drift）

递归公式： $Y_t=c+Y_{t-1}+ε_t$
其中 $ε_t$ 是均值为0的白噪声，c为常数。

两个参数：常数c，白噪声方差 $σ_ε^2$
差分（ $diff(Y)=Y_t-Y_{t-1}$ ）为白噪声+常数c

漂移项使得随机漫步序列产生了长期趋势。长期趋势的斜率对应漂移项，漂移项为正则有增长趋势，漂移项为负则有下降趋势。

模拟随机漫步数据与拟合随机漫步模型

随机漫步模型可以看做白噪声数据的累加（cumulative sum or integration），随机漫步的一阶差分即为白噪声。
另外，随机漫步模型是ARIMA(0,1,0)模型，中间的1表示模型的差分阶数为1。

模拟随机漫步数据
在R中，可以利用arima.sim()函数（参数设置为model = list(order = c(0, 1, 0))）生成随机漫步的模拟数据。

# Generate a RW model with a drift ‘sd=’可指定差分后白噪声的标准差，默认为1，mean即为差分后白噪声的均值（即漂移项）默认为0。
rw_drift <- arima.sim(model = list(order = c(0, 1, 0)), n = 100, mean = 1)
# Plot rw_drift
ts.plot(rw_drift)

rw_drift

拟合随机漫步模型
首先将待拟合的随机漫步数据进行差分，然后利用arima()函数对差分后的数据进行白噪声模型的拟合。拟合后会给出随机漫步模型的漂移项（白噪声模型的均值（标为intercept））和白噪声的方差（标为sigma^2）

# Difference your random_walk data
rw_diff <- diff(rw_drift)

# Plot rw_diff
ts.plot(rw_diff)

# Fit the WN model to the differenced data
arima(rw_diff, order = c(0,0,0))