电磁对偶和T-duality

电荷和磁单极子的对偶，抽象的说是非破缺规范对称的生成元和破缺的规范对称生成元的对偶。这个可以这样来理解。
考虑一个规范场理论，因为Higgs的存在，真空态规范对称性自发破缺。选择一个其中的真空态，在这个真空态的背景下，还会具有一部分的规范对称残留，这部分保留的规范对称所对应的生成元可以理解为是电荷。所以可随意说电荷是对称charge。
真空态的背景的能量应该是不能是无穷的，这就需要所有的场，Higgs和规范场在无穷远递减的最够快，这样在整个空间的场的构型的能量才可能是有限的。但是如果只存在Higgs的话，这个是无法实现的，所以说在无穷远出，规范场应该也存在，然后和Higgs相互抵消，最后使能量有限。
但是真空态还要求，规范场只能是平凡的规范。平凡的规范场是由cohomology分类的，3为空间的无穷远处是一个2维的球面，假设规范场的群的SU(2),那么这个cohomolgy就是一个整数在加法下的整数构成的群。这个整数就可以理解为磁单极子。所以说磁单极子是拓扑charge.
这样的话，电磁对偶就是一个对称charge和拓扑charge的对偶。

从这个角度去想，弦论里面的T-duality 也会这样的一个对偶。
考虑闭合弦的在一个环形的空间。因为这个环形的空间闭合的弦可以自由移动，所以就有了一个在环里转动，或者说平移的对称性，这个对称的生成元charge就是动量。
因为弦是绕在这个环上的，所以可以绕不同的匝数，这个匝数就是拓扑的charge,也就是所谓winding number。
而T-duality 就是动量和winding number的对偶。
这个环的半径可以等价于winding charge的质量，因为弦越长，质量越大。
而动量charge的质量是半径的倒数，因为半径越小，因为测不准原理，动量越大。
用T-duality 交换winding和动量后，就相当于把环的半径变成了之前的环的半径的倒数。所以个弦在一个大的环的情况和弦在一个小的环的情况是等价的。弦论就是利用这一点消除了无穷小距离引起的发射。