杀杀
今天上完生统课，决定总结一下这个很有趣的问题
新冠爆发过后，许多同学们在返校的时候都做了核酸检测
我是在毕业前回医大的时候做的核酸检测
戳的好痛
那么，就存在一个问题
假如一个人叫SS，她去做了核酸检测，结果呈阳性，那么她实际上真的生病了嘛
这个问题涉及到了检测试剂盒的准确性，以及人群总体的发病率的问题
那么现在假设基于以下情况：
(请牢记，阳性是生病，阴性是正常，之所以要把第一条放在这是因为很容易混淆)
现在我们需要检查一个人是否得了某种病
这个病在人群中的发病率为0.0004
如果SS是正常人，那么她有99.9%的概率检测出阴性结果，也就是检测结果为：未患病
如果SS生病了，那么她有99%的概率检测出阳性结果，也就是检测结果为：患病
这两个情况都是我们需要知道的前提条件，这也是在研制试剂盒的时候就需要产生的实验数据
那么基于以上的条件，我们使用概率论中的贝叶斯公式，可以得到：
在正常人的条件下，检测为阴性的概率
p(检测为阴性 | 正常人) = 0.999
同理：
p(检测为阳性 | 正常人) = 0.001
p(检测为阴性 | 病人) = 0.01
p(检测为阳性 | 病人) = 0.99
那么，不论SS是否生病，她在一次检测中，被检测为阳性的概率为
SS得病了的概率p(检测为阳性 | 病人)+SS没得病的概率p(检测为阳性 | 正常人)
p(检测为阳性) = 0.0004 *0.99+(1-0.0004) *0.001=0.0013956
同理
p(检测为阴性) = 0.0004 *0.01+(1-0.0004) *0.999=0.9986044
现在回到最初的问题，如果SS去做了一次检测，结果为阳性，那么SS真的得病了嘛？
问题就转换为在先知道结果为阳性的情况下，检测结果为准确，也就是这个人有多大概率真的生病了
根据贝叶斯公式（推导过程查概率论书，这里就不多废话啦）
p(病人 | 检测为阳性) = p(检测为阳性 | 病人) * p(病人)/p(检测为阳性)
=0.99*0.0004/0.0013956
=0.283748925193465
看，即便这个试剂的检测准确率高达99%，一个人在仅一次的检测后结果为阳性，但他只有28.37%的概率是真的病人，误诊率非常高
但是如果我们做两次检测，结果会怎样呢
首先我们要注意，在经过一次筛查后，人群中的发病率已经得到了进一步的更新
此时的发病率为：
病人数量/(实际生病人数+被误诊的病人数)
也就是
[ 原发病率 * p(检测为阳性 | 病人) ##这是现在的所有病人数
/
(原发病率 * p(检测为阳性 | 病人)+（1-原发病率）* p(检测为阳性 | 正常人)) ] ##这是现在的人群总数
带入数值
0.0004 * 0.99/(0.0004 * 0.99+(1-0.0004) * 0.001)
可以发现，就是第一步所做的贝叶斯公式（我们也可以从这个角度重新理解贝叶斯公式），也就是此时的发病率为0.2837，第一次的贝叶斯公式就是对人群的第一次筛选
那么，把这个发病率带入更新后的第二次检测
检测结果为阳性的概率为检测正确的概率加上误诊的概率
0.2837 * 0.99+(1-0.2837) * 0.001
约为0.2816
若第二次检测ss还是阳性，那么她确实生病的概率为
P(病人|检测出阳性) = P(病人) * P(检测出阳性|实际患病)/P(检测出阳性)
0.2837 * 0.99/0.2816
约为0.997
因此，如果ss在第二次检测中仍然显示出阳性结果
那么这时候的检测准确率已经达到了0.997
这就是在阳性结果下进行多次检验的必要性，第一次的检验结果其实有很大概率是错的，以此类推，多次检验过后，准确率会大幅度提高。
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