小學生算術題🧮紛爭第八彈🤕：我是在 4 堆變 3 堆嗎？我是在教

晚上，教妞珠怎麼解 12 ÷ 2, 12 ÷ 4, 12 ÷ 3 。妮妹在旁邊聽到，這不很簡單嗎😒？氣死我了，我用小學算術🧮給小朋友講清楚了群同構，妳居然覺得不過爾爾🤯😤🤬？！

事情是這樣的：

第一問：12 ÷ 2

問：兩個小朋友平分 12 個蘋果🍎，一人分幾個纔不會打架？

很簡單，「妳一個，我一個；妳一個，我一個；⋯⋯」，這樣分完就不會打架。

👩🏻🦰	👩🏻🦳
🍎	🍎
🍎	🍎
🍎	🍎
🍎	🍎
🍎	🍎
🍎	🍎

這叫：

旌🆚旆
蓋🆚幢
故國🆚他邦
千山🆚萬水
九澤🆚三江
山岌岌🆚水淙淙

正好複習一下《聲律啟蒙》。

第二問：12 ÷ 4

問：現在又來了兩個小朋友，一共 4 個小朋友了，怎麼分？

簡單，原來拿到蘋果🍎的小朋友在一份二，就好了。

🧑🏻🦱	👩🏻🦰	👩🏻🦳	🧑🏼🦱
🍎	🍎	🍎	🍎
🍎	🍎	🍎	🍎
🍎	🍎	🍎	🍎

第三問：12 ÷ 3

問：突然有個小朋友被喊回家喫飯去了，怎麼辦？

觀察到，被喊回家的小朋友手上有 3 個蘋果🍎，正好剩下 3 個人。問題簡單了，給剩下的 3 個人每人分 1 個蘋果🍎就行了啊。

🧑🏻🦱	👩🏻🦰	👩🏻🦳	🧑🏼🦱
🍎	🍎	🍎
🍎	🍎	🍎
🍎	🍎	🍎
🍎	🍎	🍎

但，為什麼手中的 3 個蘋果🍎能正好對應 3 個人？∴，這種解法不能說不對，但解釋上有瑕疵。我認為，更「自然」的解法並不是這樣，而是：在被喊回家的小朋友走之前，每個人手中有 3 個蘋果🍎，那麼，從每個人手中拿走 1 個蘋果🍎堆作 1 堆，不就正好能重複做出 3 堆來嗎？！

而為什麼能這麼做？其實背後是提取要走的小朋友手中每個蘋果🍎，在其他小朋友手中蘋果🍎的等價類。即：

🧑🏻🦱	👩🏻🦰	👩🏻🦳	🧑🏼🦱
🍎	🍎	🍎	🍎
🍊	🍊	🍊	🍊
🍏	🍏	🍏	🍏

變為⬇️

🧑🏻🦱	👩🏻🦰	👩🏻🦳	🧑🏼🦱
🍎	🍊	🍏
🍎	🍊	🍏
🍎	🍊	🍏
🍎	🍊	🍏

這個解法能避開「巧合」的困擾，更有意義的在於，它能讓小朋友看到內在的結構，而非只是技巧。為什麼以前學數學總感覺一地雞毛🪶——學了一身的技巧，競賽成績也還可以，但仍然不能一句話說清楚數學是什麼——其原因也許在於「從來沒有獲得過對數學結構對洞見」。

為什麼我看數學滿滿都是技巧？∵我沒有看到結構。

七舅說，有次他給 @卓卓 弟解釋「壓強」的概念。他並沒有選擇引入「壓強」這個概念，甚至最後也沒有告訴 @卓 弟這就叫「壓強」，而是舉了兩個例子，「為什麼外人打你都是用拳頭👊🏻，而家人打你用的是巴掌🤚🏻」& ：

10 ÷ 10 = 1
10 ÷ 1 = 10
10 ÷ 0.1 = 100

當我聽到這個故事，震憾極了——原來可以直接用數學結構去幫助小朋友觸達事物對本質。

另一個我非常喜歡的例子是：翻轉三角問題。

十枚硬笔🪙，如何只挪动其中三枚，翻转三角的朝向？

當看透了問題的結構，眼中會看到兩種硬幣🪙：一種是銀色的、不動的、對稱的、佔多數的硬幣🪙；另一種是金色的、挪動之後會導致方向翻轉的、佔少數的硬幣🪙。其實數學也是如此，找出問題的結構，找到其中不變的要件，其餘的就是可變的、可以騰挪的要件。剩下的就只有擺弄了。

第三個例子是有關「為什麼堵車的時候總感覺自己這道是最慢的？」這種自覺到底對不對？如果用「人們總是對順利的、習以為常的事情無感，而對不順的事記得很深」解釋，那麼這種感覺未必正確。但如果從「更堵的那條車道必然車🚗更多，∴我們更大概率掉進這條車道」的視角考察，我們的直覺反而是正確的。不管後者是否正確^[1]，但能從現實問題中抽取出數學結構，這點足以檢驗洞見的深刻程度。

嗯，找到一個好問題，循序漸進地設置一系列腳手架小問🪜，引導小朋友看到問題的結構——似乎又找到了一個幫助小朋友獲得不對稱競爭優勢的殺手鐧✂️😏。

故事的最後，妮妹說「那又怎樣？不過爾爾！」。

🤯😤🤬！

---

Ref:

1. 一道小学二年级算术题🧮引发的纷争🤣；
2. 一道小学四年级算术题🧮引发的纷争🤣；
3. 小学生算术题🧮纷争第三弹🤕；
4. 一道算术题🧮背后的算法迭代；
5. 小学生算术题🧮纷争第四弹🤕；
6. 小学生算术题🧮纷争第五弹🤕；
7. 小学生算术题🧮纷争第六弹🤕；
8. 小学生算术题🧮纷争第七弹🤕]；

---

1. 比如未考慮這條車道上發生車禍、菜鳥司機更多⋯⋯等因素。 ↩