1、群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。
可交换群就是在满足群的”四公理“的基础上在加上一个可交换的属性，可把满足可交换的操作满足对称性。
1.1 原群(magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。
1.2 半群(Semigroup)，满足结合律(associative property)的代数结构。V=，其中二元运算*是可结合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，则称V是半群。
1.3 阿贝尔群(Abelian Group)-交换群在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，
3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合不是域，因为整数的倒数不是整数。
有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域
从群到环，再到域，是一个条件逐渐收敛的过程
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