第二章 有限维向量空间

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title: 第二章 有限维向量空间
category: 知识点
date: 2019/08/01
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<h3>本章重点：</h3>

现行代数关注的是有限维向量空间。
重要概念：张成，线性无关，基和维数。

向量：
向量的线性组合:
向量的张成：所有线性组合的集合

V中任意一组向量的张成都是V的子空间。

例如(0,2,0) a属于N 的张成，一定是(0,2n,0)。也属于V的子空间，而且是包含这组向量的最小子空间。

如果一组向量张成为空间。例如(1,1,1)可以张成为空间，则称张成(span)V。如果空间是由一组向量张成，则称这个向量空间是有限维的。

多项式的次数

定义：对于多项式,如果存在标量
使得。就说p的次数为m,并且规定恒等于0的多项式的次数为

理解：其实多项式的次数取决于最高次。

线性相关性引理

如果在V中是线性相关的，并且,则有使得下列成立:
(a)
(b)如果从(v_1,···,v_m)中去掉第j项，则剩余组的张成等于

判定维度是否为有限的定理

在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或者等于张成向量组的长度.

有限维向量空间的子空间都是有限维的。

基

定义：若V中一个向量组既是线性无关又张成V，则称之为V的基。

命题1：

V中向量组是V的基当且仅当每个都能唯一地写成如下形式：,其中

定理1：在向量空间中，每个张成组都可以简化为一个基。

推论1：每个有限维向量空间都有基。

定理2：在有限维度向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一个基。

命题2：设V是有限维的，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W使得

维数

定理1：有限维向量空间的任意两个基的长度都相同。

维数：有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数。
V的维数记为

例如： ,

命题1：若V是有限维的，并且U是V的子空间，则
命题2：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量组都是V的一个基。

命题3：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。

定理2：如果和是同一个有限维向量空间的两个子空间，那么：

命题4：设V是有限维的，并且是V的子空间，使得 并且
则