一、 Softmax函数与多元逻辑回归

为了之后更深入地讨论神经网络，本节将介绍在这个领域里很重要的softmax函数，它常被用来定义神经网络的损失函数（针对分类问题）。
根据机器学习的理论，二元逻辑回归的模型公式可以写为如下的形式：

在公式（1）中，对分子、分母同时乘以，得到公式（2），其中，；。

事实上，多元逻辑回归的模型公式也可以写成类似的形式。具体地，假设分类问题有个类，分别记为，则多元逻辑回归的模型可以表示为如下的形式。

不妨记，。在公式（3）中对分子分母同时乘以，可以得到公式（4）。

公式（4）中的函数其实就是softmax函数（softmax function），记为。这个函数的输入是一个维的行向量，而输出也是一个维行向量，向量的每一维都在区间中，而且加总的和等于1，如图1所示。从某种程度上来讲，softmax函数与sigmoid函数非常类似，它们都能将任意的实数“压缩”到区间。

图1

在softmax函数的基础上，可以将逻辑回归转换成图的形式，这样可以更直观地在神经网络里使用这个模型（在机器学习领域，复杂的神经网络常被表示为图）。以二元逻辑回归为例，得到的图像如图2所示。图中的方块表示线性模型。另外值得注意的是，图2所表示的模型与《神经网络（一）》中的sigmoid神经元模型是一致的，只是图2可以很轻松地扩展到多元分类问题（增加图中方块的数目）。

图2

另外，借助softmax函数，逻辑回归模型的损失函数可以被改写为更简洁的形式，如公式（5）所示。

那么，对于元分类问题，假设第个数据的类别是，用一个维的行向量来表示它的类别[^1]：这个行向量的第个维度等于1，即，其他维度等于0，即。基于此，逻辑回归在这一个数据点上的损失可以写成softmax函数与行向量矩阵乘法的形式（也可以认为是向量内积的形式），如公式（6）所示，其中是一个维的行向量。

类似地，整个模型的损失函数也可以写为矩阵乘法的形式（因为），这样的形式对神经网络的工程实现十分有用，在之后的讨论里会经常遇到基于它的代码实现。

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这篇文章的大部分内容参考自我的新书《精通数据科学：从线性回归到深度学习》。

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