《图灵的秘密：他的生平、思想及论文解读》
作者：[美]佩措尔德
译者：杨卫东，朱皓
出版社：人民邮电出版社
出版时间：2013-11

一、平方数分解

  丢番图的《算术》中最著名的问题也许要算第2本书的第8个问题：将给出的平方数分解为两个平方数的和，也就是说，求x、 y、 z，使它们满足：

  这个问题的几何解释是毕达哥拉斯定理所描述的直角三角形三条边之间的关系。

  这个问题有许多整数解，例如x、y、z分别等于3、4、5.
  这个简单的结果显然不是丢番图所希望的。他设定了一个“给出的平方数”（也就是z^2）等于100，于是其他两边分别等于6和8。

二、费马大定理

  费马（1601—1665）曾拥有一本1621年的拉丁语版《算术》，并在其空白处写满了笔记。他写道：
  将一个立方数分解为2个立方数，或者将一个4次方数分解为两个4次方数，亦或将除平方之外的任何乘方分解为两个有同幂的乘方，这些都是不可能的。即

是没有整数解的，并且幂为4、5、6及之后的类似方程都没有解。

三、解的存在性证明

  很显然，证明某些丢番图方程没有解要比找到一个解（如果有）更具挑战性。如果你知道某个特定的丢番图方程存在解，可以简单地验证所有的可能性。由于允许的解只能是整数，因而你可以首先尝试1，然后是2、3及之后的数。如果你不想做这些繁重的工作，可以写一个计算机程序测试所有的可能性，程序迟早会帮你找到答案的。
  但是，如果并不知道是否存在解，那么这个用计算机蛮力解决的方案就不合适了。你可以不断尝试，但怎样知道何时该放弃呢？你怎么知道下一步将要测试的一组数字不是所要搜寻的那组数字呢？