一、数学非常有趣。

包含那么多推理过程的精巧性和结论的洞察性。通过抽象从复杂对象中揭示出其本质内核。

二、数学能简化我们对世界认知和把握方式。最主要的方式就是分类

通过对一类对象的研究（而非单独对象）就能得到这一类对象的特点和规律，比单个对像研究效率高太多。
只有元素构成的集合性质没有那么有趣，如果在其中加入某些运算（如乘法、加法），对这些运算定义规则(如封闭性，结合律，单位元，逆元、交换律等)，就赋予系统以结构。于是就出现了常见的群、环，域等结构，而如果还想对集合中元素之间关系(远近，距离等)进行度量（如欧氏距离、余弦夹脚等），或者是让运算具有叠加效果（Laplace 变换），那么有可以分别构成度量空间，线性空间等等不同空间，是一种更复杂的代数结构。而这样的不同结构又进行了一个大分类，不同结构集合实例化后，可以一次性解决巨量的多样问题。
两个系统不仅仅是元素对应起来，对应元素之间关系还可以保持不变的话，就将具有相同或者相似结构不同系统等同起来，这样对应就是同构、同态，又是一种分类，大大方便探索未知对象效率。

三、把结论适当推广

比如说有了二维和三维的一些结论就直接向高维度推广。比如，矩阵、多项式都可以和数组 一样作为向量对待。把实数等开区间推广到集合的开集后来创建测度等，都大大拓展了研究对象范围。

四、建立定量联系

通过映射把不同集合之间通过函数关联起来，即可以表达因果关系，又可以对相关关系进行描述。

五、有效解决问题方法

1、分而治之（最重要一个方法）

把问题分成几个部分，一个一个部分进行证明。 这是极其重要又普适的一个技巧，在许多领域都在使用。如对复杂群进行研究时，也用到这个方法，就是研究其子群的结构，通过对子群的研究得到对特定群的特征。

2、证明问题的必要条件

若原命题成立，可以推理得到一个新的相对简单很具体的结论。如果这个具体问题得证，则原命题的正确性可以推进一步，若具体问题被证伪，则原命题也被证伪（问题具体化）。

3、证明问题的充分条件

把原命题当成一个更抽象问题的一个实例化后的结果。构造的这个抽象问题一般更难求解，但是求解后能得到更多的结论。在抽象过程中，就把关于自然数的数论问题映射到代数、拓扑或者分析的领域。创建的新的抽象问题被证明后，相关的猜想也就变成了定理（问题抽象化）。这是许多的著名数论问题证明的路线图。数论问题看起来都容易理解，但是要证明，一般在算数领域很难证明（欧几里得在算数领域用反证法证明素数无穷的这类美妙方法真的很少）。都需要对其进行范式转换，所以数论猜想看起来很简单，但是证明起来却需要非常高深理论的原因。

4、从不同角度看问题

比如说，虽然对 Δx→0 取极限黎曼积分非常好用，但是毕竟有些特殊函数不能进行积分，那么换一个思路，针对 Δy→0 取极限，勒贝格积分就派上了用场。

5、在一个系统里面解决问题很难，那就把他转换到另外系统里面去求解

如费马大定理的证明是把有解转换为 椭圆函数（y^2 = x^3+bx+c）上有特殊解。