利用判别式法解含参不等式的恒成立问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-21 09:19 被阅读0次

利用判别式法解含参不等式的恒成立问题
用分离参数法解含参不等式的恒成立问题
利用函数性质解含参不等式的恒成立问题
根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
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掠过千题，不如讲透一题
单调性和奇偶性
一道不等式题

利用判别式法解含参不等式的恒成立问题

方法三判别式法

使用情景：含参数的二次不等式

解题步骤：

第一步首先将所求问题转化为二次不等式；

第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；

第三步得出结论.

【例1】设 $f(x)=x^2-2mx+2$ ，当 $x \in [-1,+\infty)$ 时， $f(x) \geqslant m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

【解】设 $F(x)=x^2-2mx+2-m$ ，

则 $x \in [-1,+\infty)$ 当时， $F(x) \geqslant 0$ 恒成立；

当 $\Delta =4(m-1)(m+2)<0$ 即 $-2<m<1$ 时， $F(x)>0$ 显然成立；

当 $\Delta \geqslant 0$ 时，如图， $F(x) \geqslant 0$ 恒成立的充要条件为

$\begin{cases} \Delta \geqslant 0 \\F(-1) \geqslant 0 \\ -\dfrac{-2m}{2} \leqslant -1 \end{cases}$ 解得 $-3 \leqslant m \leqslant -2$ 。

综上可得实数 $m$ 的取值范围为 $[-3,1]$ .

【总结】一般地，对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a \neq0,x \in R)$ ,有

1） $f(x)>0$ 对 $x \in R$ 恒成立 $\Leftrightarrow \begin{cases}a>0 \\ \Delta <0 \end{cases}$ ；

2） $f(x)<0$ 对 $x \in R$ 恒成立 $\Leftrightarrow \begin{cases}a<0 \\ \Delta <0 \end{cases}$ .

【例2】若 $f(x)$ 为二次函数， $-1$ 和 $3$ 是方程 $f(x)-x-4=0$ 的两根， $f(0)=1$ .

（1）求 $f(x)$ 的解析式；

（2）若在区间 $[-1,1]$ 上，不等式 $f(x)>2x +m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

【解】

（1）设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c,(a \neq 0)$ ，

由 $f(0)=1$ 可得 $c=1$ ，

故方程 $f(x)-x-4=0$ 可化为 $ax^2+(b-1)x-3=0$ ，

$\because -1$ 和 $3$ 是方程的两根，

$\therefore$ 由韦达定理可得

$-1+3=-\dfrac{b-1}{a}$ ,

$-1\times 3=\dfrac{-3}{a}$ ，

解得 $a=1,b=-1$ ，

故 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^2-x+1$ ；

（2） $\because$ 在区间 $[-1,1]$ 上，不等式 $f(x)>2x +m$ 有解，

$\therefore m< x^2-3x+1$ 在区间 $[-1,1]$ 上有解，

故只需 $m$ 小于函数 $g(x)=x^2-3x+1$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值，

由二次函数可知当 $x=-1$ 时，函数 $g(x)$ 取最大值 $5$ ,

$\therefore$ 实数 $m$ 的取值范围为 $(-\infty,5)$ .

【总结】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为 $m <g(x)_{max}$ 来求参数 $m$ 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.

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