看阿基米德如何处理圆面积

看阿基米德如何处理圆面积

阿基米德其人

阿基米德是人类历史上最伟大的数学家之一。是的，是有“之一”，但也可以说就是最伟大的数学家。有人这么说，如果找当今的数学家作一个调查，请他们列出人类历史上最伟大的10个数学家，可能不同的人会有不同的看法，但如果人数减少到3人，即请他们列出人类历史上最伟大的3个数学，那么这个名单会非常集中，集中在这三个人：阿基米德，牛顿，高斯。还有人说，如果阿基米德能到现在大学数学系的课堂里去听课，他很快就不会有太多障碍。

阿基米德处理数学问题，既体现出熟练的计算技巧，又有严格的证明。

阿基米德是被罗马士兵杀死的……

我们从阿基米德的著作《圆的度量》中选一个命题，用我们现代习惯的表达方式写出来，方便我们体会一个这位天才的数学家的思想。

我们先来说一个有意思的结论：

一个量A可以任意接近另一个确定的量B，那么A大于任意比B小的确定的量C

这里包含有阿基米德的微积分思想萌芽。

道理是很简单的。如上图，C比B小，即数轴上，C在B的左边，且与B有固定的距离。而A可以任意接近B，当然终于会比C更接过B，从而大于C。

下面，我们来看阿基米德的命题：

任一圆的面积等于以该圆的半径和周长为两直角边的直角三角形的面积。

我们在前面的文章中，曾经给出过一个形象的说明（圆面积的另类推导）

现在我们来看阿基米德的严谨证明。

假设上述三角形的面积为K，圆的面积为S，阿基米德要证明的是：S=K

他的思路是：

为了证明S=K，分两步：第一步，证明S不大于K；第二步，证明S不小于K。

怎么样，这个步骤看起来与把大象放进冰箱里的步骤差不多吧！

阿基米德完成了证明！他完成每一步的证明都是反证！

假设S大于K。

考虑圆的内接正多边形。显然，随着边的增加，正多边形的面积可以任意的接近圆的面积。

但圆的面积S是大于K的，于是，终于会得到一个正多边形，它的面积也会大于K。（就是应用一开始给出的结论）

但让我们来看圆内接正多边形的情况：

圆内接正多边形可以分成若干个三角形，每个三角形的面积都等于多边形边长与边心距（即图中的k）乘积的一半。于是多边形的面积就等于多边形的周长乘边心距的一半。

但显然，多边形的周长小于圆的周长，边心距小于圆的半径。从而，多边形的面积小于以圆的周长和半径为直角边的三角形面积。矛盾！

于是S不可能大于K。

完全类似的，我们只要考虑圆外切正多边形，就可以证明：S不可能小于K。

从而，S=K。