堆（heap）

如何理解“堆”？

堆是一种特殊的树。满足两点要求。

• 堆是一个完全二叉树；
  完全二叉树要求，除了最后一次，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（小于等于）其子树中每个节点的值。
  换种说法就是，堆中每个节点的值大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。
  对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

  
  堆

图中1 ，2为大顶堆，图中 3 为小顶堆，图中 4不为堆。

如何实现一个堆？

堆中插入元素：将元素插入到堆的最后。然后从下向上进行堆化（不断的与父节点比较然后交换）。

堆化

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标 1 开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

删除堆顶元素：将树的最后一个元素替换掉最大的节点（即根节点），然后从上往下进行堆化（不断的与子节点进行比较然后交换）。

堆化

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

我们知道树的高度不会超过logn，所以堆化是和树的高度成正比，即插入和删除的时间复杂度都是O(logn)。