矩阵乘法

对于一个向量 $v$$$v=[-1,2]^{T}$$当对向量$ v $乘以一个矩阵$ M$ $M=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$
即 $\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}$
将向量 $v=[-1,2]^{T}$ 转化为向量 $[5,2]^{T}$ ，也就是进行了线性映射。
如下图所示：

在这里插入图片描述
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在上述矩阵乘法的过程中，可以拆分为
即，可以理解为，上述矩阵对向量的乘法，相当于是将原来向量的x轴的单位向量线性映射到，将原来向量的y轴的单位向量线性映射到，经过这样转化后的在新的空间中的向量在原空间就是。
因此，可以得出如下结论

矩阵乘法，可以理解为是对线性空间的线性映射

而矩阵对矩阵的乘法，则可以理解为是矩阵对多个向量的乘法，即对多个向量的空间线性映射

特征值和特征向量

如上所述，一个矩阵对一个向量的乘法，是对该向量进行线性映射，这种映射，会对向量进行旋转变量和拉伸变换。如上述例子，向量 $[-1,2]^{T}$ 在进行矩阵乘法之后变为 $[5,2]^{T}$ ，向量的方向和长度均发生了变化。但是，在该空间中是否存在这样的向量，经过该矩阵的线性映射变化之后，只发生了长度变化，而方向并没有变化呢？
即 $\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$
其中 $\lambda$ 表示长度变化的倍数
即 $Mv=\lambda v$
这个看着很眼熟？没错，这个就是求矩阵的特征向量和特征值的式子，向量 $v$ 就是矩阵 $M$ 的特征向量，值 $\lambda$ 就是矩阵 $M$ 的特征值。其中，向量 $v$ 指的不是一个向量，而应该是一簇相同方向的向量，因为上述式子的两边可以乘上任意数值，式子依然成立。
也就是说