一、什么是降维以及为什么要降维

1.1 降维简介

为了在机器学习中拟合出满意的结果，训练中提供的训练样本数据需要足够大，或采样密度足够大，即所谓的“密采样”。然而现实中属性维数经常成千上万，若要求样本满足密采样条件，例如维数为20维，那么需要的样本数为10的60次方（宇宙基本粒子的总数约为10的80次方）。此外，许多学习方法需要涉及距离计算，而高维数据会给距离计算带来很大的麻烦。像这类高维情况下出现的数据样本稀疏、距离计算困难的问题被称为“维数困难”。

缓解维数困难的一个重要途径就是降维，亦称为“维数约简”，即通过某种数学变换（比如线性变换）将原始高维属性空间转变为一个低维“子空间”，在这个子空间样本密度大幅提高，距离计算也变得容易。

至于为什么能进行降维？这是因为在很多时候，人们观测或收集到的数据样本虽是高维的，但与学习密切相关的也许仅是某个低维分布。

1.2 降维的方法和技术

数据降维方法主要有：

投影
流形学习

数据降维技术主要有：

PCA：主成分分析
Kernal PCA：核主成分分析
LLE：局部线性嵌入
MDS：多维缩放
Isomap：等度量映射
t-SNE：t-分布随机近邻嵌入
LDA：线性判别

1.3 降维的优缺点

优点

加速训练算法；
便于数据可视化，观察可视化图，了解最重要的特征；
节省空间。

缺点

丢失部分信息；
转换后的特征往往难以解释。

二、PCA主成分分析

主成分分析是最常用的一种降维方法，使用矩阵的奇异值分解技术将维数投影到低维度空间。主成分分析的目的是让降维后的新属性维数之间两两不相关，而且这些新属性维度在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。

降维后低维空间的维数由使用者事先指定，而降维后的维数并不是越低越好，一般来说需要设定一个阈值，比如85%，来选择一个新维数。

（具体算法笔者尚未深入了解，感兴趣的朋友可以自行查阅相关资料。）

三、Talk is cheap, show me code.

简单的二维数据降维

# 运行于Jupyter Notebook
%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA

# 二维数据降维
# 数据创建
rng = np.random.RandomState(8)
data = np.dot(rng.rand(2,2),rng.randn(2,200)).T
df = pd.DataFrame({'X1':data[:,0],
                  'X2':data[:,1]})

# 降维为1
pca = PCA(n_components=1)
# 训练模型
pca.fit(df)
# 降维变换
x_pca = pca.transform(df)
# 数据降维的逆变换
x_new = pca.inverse_transform(x_pca)
# 原始数据与降维后数据分对比
plt.scatter(df['X1'],df['X2'],alpha=0.2)
plt.scatter(x_new[:,0],x_new[:,1],alpha=0.8,color='g',marker='.')
plt.grid()

简单降维对比

高维数据降维

# 运行于Jupyter Notebook
%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_digits

# 准备数据，digits.data的shape为(1797,64)，是个64维数据
digits = load_digits()
#降到二维
pca = PCA(2)
#projected为降维后的二维数据
projected = pca.fit_transform(digits.data)

#绘图
from IPython.core.pylabtools import figsize
#plt.rcParams['figure.figsize'] = (16.0, 9.0)
figsize(16,9)
plt.rcParams['figure.dpi'] = 300
plt.scatter(projected[:,0],projected[:,1],
           c=digits.target,edgecolors='none',alpha=0.5,
           cmap=plt.cm.get_cmap('Spectral',10))
plt.xlabel('component 1')
plt.ylabel('component 2')
plt.grid()
plt.colorbar()

将PCA用于手写数字数据的降维

选择正确数量的维度

pca = PCA().fit(digits.data)
plt.plot(np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))
plt.axhline(y=0.85,color='r')
plt.text(x=2,y=0.88,s="y=0.85",fontsize=20,color='r')
plt.grid()