LDA(有的资料也称作Fisher’s Linear Discriminant)
LDA的全称是Linear Discriminant Analysis（线性判别分析），是一种supervised learning。有些资料上也称为是Fisher’s Linear Discriminant。（发明于1936年）
LDA是在目前机器学习、数据挖掘领域经典且热门的一个算法，据我所知，百度的商务搜索部里面就用了不少这方面的算法。
LDA原理：点映射到低维空间，使得同类的点尽量聚集，不同类的点尽量分散
两类线性判别分析：
类别i的原始中心点为：（Di表示属于类别i的点)
类别i投影后的中心点为：
衡量类别i投影后，类别点之间的分散程度（方差）为：
最终我们可以得到一个下面的公式，表示LDA投影到w后的损失函数：
希望投影之后类内部的方差越小越好，投影后两类样例中心尽量地分离，即越大越好
若记：
则
而
所以这样损失函数可以化成下面的形式：
这样就可以用最喜欢的拉格朗日乘子法了，但是还有一个问题，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就会使得有无穷解，我们将分母限制为长度为1（这是用拉格朗日乘子法一个很重要的技巧，在下面将说的PCA里面也会用到，如果忘记了，请复习一下高数），并作为拉格朗日乘子法的限制条件，带入得到：
注意：求导时可以简单地把
当做
看待
这样的式子就是一个求特征值的问题了。
如果有一个新的样本，则计算
，大于u（u是所有样本的均值)则属于第一类，小于则属于第二类；
多类线性判别分析：
假设有C个类别，降以一维已经不能满足分类要求了，我们需要k个基向量来做投影，W=[w1|w2|...|wk]。样本点在这k维投影后的结果为[y1,y2,...,yk]
这同样是一个求特征值的问题，我们求出的第i大的特征向量，就是对应的Wi了。（why？，因为上述求得是最大化的，而且可以根据上式如下推断（我自己想的）
则
则相当于求
实际上原因是特征值大的对应的特征向量分割性好）
补充：
1、特征值表示的是矩阵的性质，当我们取到矩阵的前N个最大的特征值的时候，我们可以说提取到的矩阵主要的成分（这个和之后的PCA相关，但是不是完全一样的概念）。
2、下图是图像识别中广泛用到的特征脸（eigen face），提取出特征脸有两个目的，首先是为了压缩数据，对于一张图片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是为了使得程序更容易处理，在提取主要特征的时候，很多的噪声都被过滤掉了。
PCA
主成分分析（PCA）与LDA有着非常近似的意思，LDA的输入数据是带标签的，而PCA的输入数据是不带标签的，所以PCA是一种unsupervised learning。LDA通常来说是作为一个独立的算法存在，给定了训练数据后，将会得到一系列的判别函数（discriminate function），之后对于新的输入，就可以进行预测了。
原理：将原本的数据降低维度，而使得降低了维度的数据之间的方差最大
假设我们还是将一个空间中的点投影到一个向量中去。首先，给出原空间的中心点：
假设u1为投影向量，投影之后的方差为：
上面这个式子如果看懂了之前推导LDA的过程，应该比较容易理解，如果线性代数里面的内容忘记了，可以再温习一下，优化上式等号右边的内容，还是用拉格朗日乘子法：
将上式求导，使之为0，得到：
这是一个标准的特征值表达式了，λ对应的特征值，u对应的特征向量。上式的左边取得最大值的条件就是λ1最大，也就是取得最大的特征值的时候。假设我们是要将一个D维的数据空间投影到M维的数据空间中（M < D)， 那我们取前M个特征向量构成的投影矩阵就是能够使得方差最大的矩阵了。
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