算术

作者: 我可能是个假开发 | 来源:发表于2024-08-24 15:14 被阅读0次

算术
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算术
算术~~~
bash中的运算
Java中的运算符
SQL必知必会(SQL函数)

一、整数、分数、小数

1.有理数Q

$实数R = \begin{cases} 有理数 \\ 无理数\\ \end{cases}$

任何有理数都可以写成 $\frac{n}{m}(m,n\in Z，且m\neq0)$
无理数无法表示成分子和分母都是整数的分数

有理数有以下几种维度分类：
$有理数Q = \begin{cases} 正有理数\\ 负有理数\\ 0\\ \end{cases}$

$有理数Q = \begin{cases} 整数\\ 分数\\ \end{cases}$

$有理数Q = \begin{cases} 有限小数\\ 无限循环小数\\ \end{cases}$

0既不是正数也不是负数

2.无理数

$无理数 = \begin{cases} 正无理数\\ 负无理数\\ \end{cases}$

无限不循环小数

常见四类无理数：
$f(n) = \begin{cases} \pi=3.14····,e=2.7182···\\ 开不尽的根号：如 \sqrt{2}\\ 取不尽的对数，如 log_23 \\ 常见三角函数 \\ \end{cases}$

常见三角函数

$α$	0°	30°	45°	60°	90°
$sin$	$\frac{\sqrt{0}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{0}}{2}$
$tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在

记忆：左手法则 + tan = sin/cos

相关公式：
如果 $α+β=\frac{π}{2}$ ，则 $sinα = cosβ$

3.整数

$整数Z= \begin{cases} 正整数 Z+\\ 0\\ 负整数Z-\\ \end{cases}$

$整数Z= \begin{cases} 奇数\\ 偶数（0为偶数）\\ \end{cases}$

$自然数N= \begin{cases} 正整数 Z+\\ 0\\ \end{cases}$

1.最小的正整数为1。正整数没有最大值
2.最小的自然数为0。自然数没有最大值
3.自然数也可以称之为非负整数
4.负整数中最小值不存在，最大值为-1
5.运算性质：整数之间的+-*结果仍为整数
6.连续整数

连续2个整数:n,n+1 和:2n+1
连续3个整数:n-1,n,n+1 和:3n
连续4个整数:n-1,n,n+1,n+2 和:4n+2
连续5个整数:n-2,n-1,n,n+1,n+2 和:5n
连续奇数个整数利用中间项去表示,们的和必然是个数(奇数个)x中间项即可
连续n个整数相乘，乘积必为n!的倍数

组合性质

有理数±有理数=有理数;
有理数x有理数=有理数;
有理数÷非零有理数=有理数.
有理数±无理数=无理数;
非零有理数x无理数=无理数;
非零有理数÷无理数=无理数.
无理数±无理数=不确定;
无理数x无理数=不确定;
无理数÷无理数=不确定.

4.分数

将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数

真分数:分子<分母，3/7
假分数:分子≥分母，7/5

5.小数

$小数= \begin{cases} 纯小数：整数部分为0的小数，比如 0.21\\ 混小数：整数部分不为0的小数，比如3.21\\ \end{cases}$

$小数= \begin{cases} 有限小数:比如0.21\\ 无限小数 \begin{cases} 循环小数 \begin{cases} 纯循环小数:比如 0.21212121...\\ 混循环小数:比如 0.312121212...\\ \end{cases} \\ 不循环小数\\ \end{cases} \\ \end{cases}$

小数与分数互化:

(1)有限小数化为分数
(2)纯循环小数化为分数:要用9，99，999 等这样的数作为分母，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数;一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的分子
(3)混循环小数化为分数:分母要用9与0，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数，“0”的个数等于不循环的数字个数;分子是不循环的数字与一个循环节的数字所组成的数，再减去不循环的数字.

倍减法解决小数转分数：同时乘以1000变成有整数的部分
A=0.427 (27循环)
1000A = 427.27
10A = 4.27
990A = 423

纯循环： $0.45454545...$ = $\frac{45}{99}$

混循环： $0.457575757...$ = $\frac{457-4}{990}$

6.奇数、偶数

奇数：不能被 2 整除的数，可以表示为 2k+1,k为整数
偶数：能被2整除的数，可以表示为2k，k为整数

a^奇数<0 <=> a<0
a^偶数 >= 0

性质：

奇数±奇数=偶数;
奇数±偶数=奇数;
偶数±偶数=偶数;
奇数x奇数=奇数;
奇数x偶数=偶数;
偶数x偶数=偶数.
若两个数相加结果为偶数，则相加两个数同奇同偶
若乘积为偶数，则相乘数中至少一个为偶数!
若两个数相加减结果为奇数，则相加减两数必为一奇一偶
若乘积为奇数，则相乘数必定同为奇数
两个数的和、差奇偶性一致
aⁿ与a的奇偶性一致（n∈Z+）
三个数相加若和为奇数，则可能为1奇2偶或3奇!
三个数相加若和为偶数，则可能为2奇1偶或3偶
若奇数个相邻整数，则相加的和不固定奇偶
若偶数个相邻整数，学会两两看待，若组合之后为奇数个组合，则和为奇数;若组合之后为偶数个组合，则和为偶数
奇数个奇数相加，和为奇数;偶数个奇数相加，和为偶数
相邻整数乘积必为偶数

0是偶数:两个相邻整数必为一奇一偶,

变化率

连续变化率公式:原值为a，变化率为p，则连续变化k次后的值为 a(1+p)^k.

7.质数、合数

$正整数Z+= \begin{cases} 0\\ 质数\\ 合数\\ \end{cases}$
1.质数
如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫作质数(质数也称素数).如2，3，5，7，…
20以内质数（8个）：2，3，5，7，11，13，17，19，
50以内（15个）：23，29，31，37，41，43，47
100以内（25个）：53，59，61，67，71，73，79，83，89，97

质数之和：
如果和为奇数：则其中必有唯一偶质数2
如果和为偶数，则两个质数都是奇数。

质数之积：
积为偶，则必有2.
积为奇，则为两个奇质数

2.合数
一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这个正整数叫作合数.如4，6，8，9.

连续合数

最小的连续2个合数:8、9
最小的连续3个合数:8、9、10
最小的连续4个合数:24、25、26、27

3.重要性质
(1)质数和合数都在正整数范围，且有无数多个.1既不是质数也不是合数.
(2)2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数,大于2的质数必为奇数.
质数中只有一个偶数 2，最小的质数为 2.
(3)最小的合数为4:任何合数都可以分解为两个或两个以上质数的积，能写成两个或两个以上质数的积的正整数就是合数.
(4)如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2;如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2.

4.互质数
公约数只有1的两个数称为互质数，如4和9.

公约数寻找可以单独对数进行质因数分解，去看是否存在相同的质因数，不存在相同质因数，则互质!

注意：不一定是质数才互质

二、整除、公约数公倍数

1.定义

数的整除
当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除或b能整除 a.
如 18 ÷6 =3，故 18 能被6 整除.

余数原则:0≤余数<除数(非负)，余数是具有非负性的。

2.常见整除的特点

能被2整除的数：个位数为0,2,4,6,8
能被3整除的数：各位数字之和能被3整除
能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整除
1124=11*100+24
能被5整除的数：个位数字为0或5
23=2*10+3
能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件
能被8整除的数：末三位能被8整除
27184=27*1000+184
能被9整除的数：各位数字之和能被9整除
23547=2*10000+3*1000+5*100+4*10+7
= 2*(9999+1)+3*(999+1)+5*(99+1)+4*(9+1)+7
= 2*9999+3*999+5*99+4*9+ 2+3+5+4+7
能被10整除的数：个位数字为0
能被 11 整除的数: 从右向左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被 11 整除(包括 0)

总结：

$2^n整除特性:末n位数字能被2^n整除$
$3^n整除特性:各位数字之和为3^n的倍数$
多个除数的整除特征:2、3、4、5、6、7、8、9，只要满足被除数为多个除数的公倍数即可

3.非整除

当整数a除以非零整数b，商为整数，但余数r不为0时，称为非整除，其形式为: a ÷ b = c···· r
如20 ÷ 3 = 6····2
为便于做题，可以写成乘法，a =b x c + r
当整数a除以非零整数 b，余数为r时，则a-r能被b整除.

要求余数小于除数.当余数为0时，就变成整除了.

非整除中：
一个除数时：被除数 = 除数k+余数r
多个除数时：

同余：被除数 = 多个除数的最小公倍数*k+余数r
不同余：被除数 = 满足条件的最小的数+多个除数的最小公倍数*k

一个数除以3余2，除以5余3。
a = 5k+3
根据除以3余2： $\frac{a}{3}=\frac{5k+3}{3}=\frac{3k+3+2k}{3}=k+1+\frac{2k}{3}$
所以k+1是商，2k就是余数（除不尽的）
k=1时为满足条件最小的数
a=15k+8（满足条件的最小的数），k∈z+
8是满足条件的最小的数，被除数= 最小公倍数*k+8

4.公倍数与公约数

1.倍数、约数
当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数

2.公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫作这几个数的公约数;其中最大的一个，叫作这几个数的最大公约数。

3.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数.

4.重要公式
如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的关系是:
（a,b）x [a，b] = a x b，其中(a，b)表示最大公约数，[a，b]表示最小公倍数

本公式只适用于两个整数，不能用于多个整数

a = (a,b)k1
b = (a,b)k2
a x b = (a,b)k1*(a,b)k2 = （a,b）x [a，b]
得到：k1* k2 = [a，b] /（a,b）
k1和k2互质：k1*k2 = [a，b] /（a,b）

5.求最小公倍数

1.公式法：
两个数的乘积=两个数的最大公约数最小公倍数
15*18=(15,18) [15,18] ，（）是代表两数最大公约数，[]是代表两数最小公倍数。
所以求最小公倍数[15,18]=1518/(15,18)，那最大公约数(15,18)怎么求呢？
最大公约数就是两个数共有约数中最大的，15、18共有约数只是3，故最小公倍数=1518/3=90。

2.分解质因数法：
就是把几个数的质因数写出来，最小公倍数等于所有质因数的乘积（如果有质因数相同，则比较两数中哪个数该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
45和21的最小公倍数：
45=59=533
21=37
最小公倍数 = 533*7=315

3.短除法：
约数相乘就是最大公约数
把余数也相乘就是小公倍数

15=35，18=36，它们的质因数分别是3和5、3和6，那么相同的质因数是3，都只有1次。

那么，最小公倍数=356=90

两个数的乘积=最大公约数*最小公倍数

如果两个数的最大公约数为7，那么可以设这两个数为 7a 7b（a和b互为质数）；有7a7b = 最大公约数最小公倍数

a、b除以m，n都有余数q；表示 a-q能同时被m，n整除，有：
mn的最小公倍数为z，
a-q = kz

6.求约数的个数

将所给的数分解成质因数： $M=m_{1}^{k1}m_{2}^{k2}···m_{n}^{kn}（m_{1}，m_{2}，···，m_{n}均为质数），则M的正约数个数为$
$（k_{1}+1）（k_{2}+1）···（k_{n}+1）$

三、比与比例

1.正比

若y=kx(k不为零)，则称y与x成正比，k称为比例系数.

如果两个变量相除等于非零常数，则两者成正比.

注意并不是x和y同时增大或减小才称为正比.比如当k<0 时,x增大时，y反而减小.

2.反比

若y=k/x(k不为零)，则称y与x成反比，k称为比例系数.
本质如果两个变量相乘等于非零常数，则两者成反比.

若两个变量相除为定值，则两者成正比；
若两个变量相乘为定值，则两者成反比。

此外，若y与x成正比，则y与1/x成反比，这就是正比与反比的相互转化.

注意：
－正比和反比不要和单调性混合，正反比只是表示变量关系
－通过正反比与比例系数去表达变量
－正比的本质是相除!反比的本质是相乘
－正比时，比例系数可看作商；反比时，比例系数可看作乘积

３.比例

1.比例
相等的比称为比例，记作a:b=c:d或a/b =c/d，其中a和d称为比例外项,b和c称为比例内项.
口诀:比例中，外项之积等于内项之积 ad=bc

2.比例中项
当a:b=b:d时，称b为a和d的比例中项，显然当a，b,d均为正数时,b是a和d的几何平均值.

3.比例的基本性质

a:b=c:d => ad = bc
a:b=b:d=> b²=ad

注意：比例中的各项均为非0值

4.合比定理

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

推导： $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$

5.分比定理

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

推导： $\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$

6.合分比定理

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

7.等比定理

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}（b±d\neq0）$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f} （b+d+f\neq0）$

不变量法：

当某个增多，或者减少；找不变的那个的量的最小公倍数，让比例扩大对应倍数。
当一个增多，一个减少时，总量不变时，要统一总量，就是让两个比例的和求最小公倍数，让比例扩大对应倍数。
当同步增多，同步减少时，差值不变，统一变量要统一差值，找差值的最小公倍数，让比例同步扩大对应的倍数。

四、绝对值

1.定义

正数的绝对值是他本身
负数的绝对值是他的相反数
零的绝对值是0

2.数学描述

实数a的绝对值定义为：
$|a| = \begin{cases} a，a\geq0\\ -a，a<0\\ \end{cases}$

3.几何描述

绝对值函数二维空间画图
三步法:
①找使绝对值内部为0的点
②从左向右将零点相连
③看|x|系数：系数首先要把内部系数变为正的然后再求和或者差看是否大于零还是小于零

>0 由内而外向上扩展
=0 水平划线
<0 由内而外向下扩展

|x+1|-|2x-3|
1-2 = -1 <0

|3-5x|+|4x-2|
变为|5x-3|+|4x-2|
5+4 = 9>0

①|x|的几何意义
表示在数轴上x点到原点的距离值

|a-b|表达数轴上a，b两点的距离

y=|x|：

image.png

②|x-a|的几何意义
表示在数轴上x点到a点的距离值；
如 x+2 表示x到 -2 的距离
y=|x-2|

image.png

③|x-a|+|x-b|的几何意义
表示在数轴上x点到a点与b点的距离之和；
如|x+2|+|x-4|表示x到 -2 与4 的距离之和
y=|x-(-2)|+|x-4|

image.png
函数角度：
图像是碗状的，有最小值|a-b|，没有最大值

方程角度：讨论解的个数
|x-a|+|x-b|=c

c>|a-b|：两个解
c=|a-b|：无穷多个解
c<|a-b|：无解

不等式角度

要使|x-a|+|x-b|>c恒成立，c<|a-b|
要使|x-a|+|x-b|<c有解，c>|a-b|
要使|x-a|+|x-b|<c无解，c<=|a-b|

④|x-a| +|x-b| +|x-c| 的几何意义
表示在数轴上x点到a点、b点与c点的距离之和；
如|x+2|+|x-4| +|x-6| 表示x到-2、4 与6 的距离之和。

image.png

函数角度：
三个折点，当x=b时有最小值|a-c|，没有最大值；

方程角度：讨论解的个数
|x-a|+|x-b| +|x-c| = d

d>|a-c|：两个解
d=|a-c|：一个解
d<|a-c|：无解

不等式角度

要使|x-a|+|x-b| +|x-c|>d恒成立，d<|a-c|
要使|x-a|+|x-b| +|x-c|<d有解，d>|a-c|
要使|x-a|+|x-b| +|x-c|<d无解，d<=|a-c|

⑤|x-a|-|x-b|的几何意义
表示在数轴上x点到a点与b点的距离之差；
如|x+2|-|x-4| 表示x到-2 与4 的距离之差

image.png

函数角度：
存在最小值 -|a-b|，也存在最大值 |a-b|；最小值与最大值互为相反数

方程角度：讨论解的个数
|x-a|-|x-b|= c

c>|a-b|：无解
c=|a-b|：无穷多解
-|a-b| <c < |a-b|：一个解
c=-|a-b|：无穷多解
c<-|a-b|：无解

不等式角度

要使|x-a|-|x-b|>c恒成立，-|a-b|>c
要使|x-a|-|x-b|<c恒成立，|a-b|<c
要使|x-a|-|x-b|>c有解，c<|a-b|
要使|x-a|-|x-b|<c有解，c>-|a-b|
要使|x-a|-|x-b|>c无解，c>= |a-b|
要使|x-a|-|x-b|<c无解，c<-|a-b|

4.绝对值的性质

1.对称性
|-a| = |a|，互为相反数的两个数的绝对值相等

2.等价性
根号与平方
$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a，a\geq0\\ -a，a<0\\ \end{cases}$

去绝对值的平方： $|a|^2 = a^2$

3.非负性
|a|>=0，任何实数a的绝对值非负.

具有非负性的数： $a^2，a^4，\sqrt{a}，\sqrt[4]{a}$

根号的双重非负性：
$\sqrt{a}=> \begin{cases} a\geq0\\ \sqrt{a}\geq0\\ \end{cases}$

当两个互为相反数的代数式出现在根号内部，则代数式为0：
当 $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{-a}$ 同时出现，则 $a = 0$

对数的双重非负性：
$\log_a b=> \begin{cases} a>0\\ b>0\\ \end{cases}$

若干个具有非负性的数之和等于零时，则每个非负数应该为零；有限个非负数之和仍未非负数。

4.自比性
$-|a|\leq a \leq |a|$ ，推而广之：
$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1，x>0\\ -1，x<0\\ \end{cases}$

自然数的绝对值等于他本身
无理数的绝对值必大于0

5.求绝对值加和最小值问题

奇中点，偶中段：
当 x=1时，|x-1| 取最小值为 0；
当 1<=x<=2 时，|x-1|+|x-2| 取最小值为 1；
当 x=2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3| 取最小值为 2；
当 2<=x<=3 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 取最小值为 4；
当 x=3 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| 取最小值为 6；

6.绝对值三角不等式

①基本形式
三角不等式： $||a|-|b||\leq|a±b|\leq|a|+|b|$

②等号成立条件

表达式	成立条件	示例
$\|a\|+\|b\|=\|a+b\|$	$ab\geq0$	$\|-3\|+\|-5\|=\|-3-5\|$
$\|a\|+\|b\|=\|a-b\|$	$ab\leq0$	$\|3\|+\|-5\|=\|3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a+b\|$	$ab\leq0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|=\|-5+3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a-b\|$	$ab\geq0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|=\|-5+3\|$

等式左右两侧加减同号，则ab同号
等式左右两侧加减互异，则ab异号

③大小成立条件

表达式	成立条件	示例
$\|a\|+\|b\|>\|a+b\|$	$ab<0$	$\|-3\|+\|5\|>\|-3+5\|$
$\|a\|+\|b\|>\|a-b\|$	$ab>0$	$\|-3\|+\|-5\|>\|-3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a+b\|$	$ab>0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|<\|-5-3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a-b\|$	$ab<0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|<\|-5-3\|$

计算技巧

总结:关于11的乘法计算
原则:任何两位以上数字x11，首尾两个数字拉开，中间数位数字两两相加，逢十进一依次计算

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表达式	成立条件	示例
$\|a\|+\|b\|=\|a+b\|$	$ab\geq0$	$\|-3\|+\|-5\|=\|-3-5\|$
$\|a\|+\|b\|=\|a-b\|$	$ab\leq0$	$\|3\|+\|-5\|=\|3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a+b\|$	$ab\leq0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|=\|-5+3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|=\|a-b\|$	$ab\geq0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|=\|-5+3\|$

表达式	成立条件	示例
$\|a\|+\|b\|>\|a+b\|$	$ab<0$	$\|-3\|+\|5\|>\|-3+5\|$
$\|a\|+\|b\|>\|a-b\|$	$ab>0$	$\|-3\|+\|-5\|>\|-3+5\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a+b\|$	$ab>0$	$\|\|-5\|-\|-3\|\|<\|-5-3\|$
$\|\|a\|-\|b\|\|<\|a-b\|$	$ab<0$	$\|\|-5\|-\|3\|\|<\|-5-3\|$

算术

一、整数、分数、小数

1.有理数Q

2.无理数

3.整数

4.分数

5.小数

小数与分数互化:

6.奇数、偶数

变化率

7.质数、合数

二、 整除、公约数 公倍数

1.定义

2.常见整除的特点

3.非整除

4.公倍数与公约数

5.求最小公倍数

6.求约数的个数

三、比与比例

1.正比

2.反比

３.比例

4.合比定理

5.分比定理

6.合分比定理

7.等比定理

四、绝对值

1.定义

2.数学描述

3.几何描述

4.绝对值的性质

5.求绝对值加和最小值问题

6.绝对值三角不等式

计算技巧

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二、整除、公约数公倍数