鞍点及其判定

作者: whzecomjm | 来源:发表于2018-09-26 09:35 被阅读13次

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032:计算鞍点
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第五章数组

昨天一个本科学妹问我一道数学题, 她觉得有点问题. 题目是道选择题, 具体如下:

The function $f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$

has a saddle point at (-1,1)

has a minimum point at (-1,1)

has a maximum point at (0,2)

has four minimum points

这是一个简单的多元函数求极值的问题, 但是等会我们将会看到很多人的误区. 首先很容易求得两个一阶偏导:
$f_x(x,y)=6x(y-1), \\ f_y(x,y)=3(x^2+y^2-2y)$
容易知道二元函数 $f(x,y)$ 有四个驻点 (0,0), (0,2), (1,1), (-1,1). 接下来我们将判定四个驻点情况, 需要继续计算二阶偏导, 结果如下:
$f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)=6(y-1),\\ f_{xy}(x,y)=6x$
则判别式(Hessian 矩阵的行列式)为 $36[(y-1)^2-x^2]$ . 四个驻点中, (0,0) 使得判别式大于0, 是一个极值点, 又因为 $f_{xx}=f_{yy}=-6<0$ , 所以是一个极大值点. 同理(0,2)是一个极小值点. 现在重点看看 (-1,1) 和 (1,1). 它们判别式都等于 -36<0, 所以一定不是极值点. 此时问题出来了, 大部分的教材会认为这样的点就是所谓鞍点. 它们认为鞍点并不是都长得和马鞍一样的点, 不是极值点的驻点都叫鞍点(saddle point). 但是有些教材不这么定义, "强行"推广了一维的拐点(inflection point)到二元函数. 这位学妹给我看了他们的教科书:

saddle point

这个教材细分了判别式小于零的情况, 说 $f_{xx},f_{yy}$ 同号的话叫拐点; 如果异号的话才叫鞍点. 然后我们会惊喜地看到我们这个问题在 (-1,1), (1,1) 这两个点上 $f_{xx}=f_{yy}=0$ , 所以这算同号还是异号? 我们之前已经排除了上述选择题的2,3,4项, 此时1项的答案似乎又沿用了另一个鞍点的定义.