第二章 同余

同余类的运算

加法零元

我们将模 的同余类 称为同余类 与 之和，表示成

如果我们在 中分别取另外两个元素 ，则 ，从而

于是有 . 这表明，同余类 与我们对 的代表元的选取无关，即上面定义的和 是由同余类 唯一确定的.

满足结合律和交换律，又同余类 具有这样的性质：对任意 ，并且方程 在 有唯一的解

我们通常将 称为 中的加法零元，而将 称作 的加法逆元，并记作 . 于是对任意 , 方程 有唯一的解

所以， 中可以作加法的逆运算——减法. 于是 对于加法形成一个群，叫做模m的加法群，这是由 个元素构成的有限群

设 ，我们将 的同余类 称为同余类 与 的积，表示成

与前面类似地， 同样是唯一确定的.

满足结合律和交换律，并且乘法与加法还满足分配律，对于任意的 . 我们因此将 称为 中的乘法单位. 代数学，满足上述（加、减、乘法）三种运算和运算律的集合叫做交换环，模 的 个同余类组成的集合，叫做模 的同余类环

在 中，方程 并非对每个 有解，即 在 中不一定总有乘法逆

比如，在 中就不存在 ，使 ，意味着 显然不存在.

中的元素 没有逆的原因，在于它是 中的所谓零因子. 一般地， 中的元素 称为 中的零因子，是指 ，但存在 使 . 同样的 也是 中的零因子.

如果 是 中的零因子，则 在 中便不可能有乘法逆. 因如果存在 使 ，又设 使 ，则产生

模 的 个缩同余类构成的集合 形成交换的乘法群

首先，两个缩同余类之积仍是缩同余类，即 对乘法封闭. 又 是 的子集，所以 中乘法仍满足结合律和交换律；而同余类 显然是 中的乘法单位，所以对于每个 ，方程 有唯一的解

称为 的乘法逆元，我们将 记作 ，于是，对于任意 ，方程 有唯一的解
（也可以成 ）

换句话说，只有模 的缩同余类才可以作‘分母‘. 于是，在 中可以作除法运算. 特别当 为素数 时， 中除 之外，其他 个同余类均是缩同余类，因此其中可以作加减乘除四则运算（当然 不能作为分母），这样的集合叫做域. 现在我们对于每个素数 ，给出了由模 的 个同余类构成的有限域.

---

Wilson 定理

设 是素数，则

时结论显然成立. 设 ，由于对模 的任一缩同余类 ，存在唯一的逆 ，满足

而 等价于 ，即 或 . 于是 个同余类 可按互逆配成 个对. 因此

这就是

如果 满足 Wilson定理的同余式，则 必是素数.