图的概念
图（Graph），是一种复杂的非线性表结构。
图中的元素我们就叫做顶点（vertex）
图中的一个顶点可以与任意其他顶点建立连接关系。我们把这种建立的关系叫做边（edge）
跟顶点相连接的边的条数叫做度（degree）
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图这种结构有很广泛的应用，比如社交网络，电子地图，多对多的关系就可以用图来表示。
边有方向的图叫做有向图，比如A点到B点的直线距离，微信的添加好友是双向的
边无方向的图叫无向图，比如网络拓扑图
带权图（weighted graph）。在带权图中，每条边都有一个权重（weight），我们可以通过这个权重来表示 一些可度量的值
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图的存储
图最直观的一种存储方法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。
邻接矩阵的底层是一个二维数组
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无向图：如果顶点 i 与顶点 j 之间有边，我们就将 A[i][j]和 A[j][i]标记为
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有向图：
如果顶点 i 到顶点 j 之间，有一条箭头从顶点 i 指向顶点 j 的边，那我们就将 A[i][j]标记为 1。同理，如果有一条箭头从顶点 j 指向顶点 i 的边，我们就将 A[j][i]标记为 1
带权图
数组中就存储相应的权重
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package com.david.graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 邻接矩阵实现
*/
public class Graph1 {
private List vertexList; //存储点的链表
private int[][] edges; //邻接矩阵，用来存储边
private int numOfEdges; //边的数目
public Graph1(int n) {
//初始化矩阵，一维数组和边的数目
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList(n);
numOfEdges = 0;
}
//得到节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i的数据
public Object getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1,v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(Object vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//插入边
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
numOfEdges++;
}
public static void main(String args[]) {
int n = 4, e = 4; //分别代表结点个数和边的数目
String labels[] = {"V1","V2","V3","V4"}; //结点的标识
Graph1 graph = new Graph1(n);
for (String label : labels) {
graph.insertVertex(label); //插入结点
}
//插入四条边
graph.insertEdge(0, 1, 2);
graph.insertEdge(0, 2, 5);
graph.insertEdge(2, 3, 8);
graph.insertEdge(3, 0, 7);
System.out.println("结点个数是："+graph.getNumOfVertex());
System.out.println("边的个数是："+graph.getNumOfEdges());
}
}
邻接表
用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间
对于无向图来说，如果 A[i][j]等于 1，那 A[j][i]也肯定等于 1。实际上，我们只需要存储一个就可以了。
也就是说，无向图的二维数组中，如果我们将其用对角线划分为上下两部分，那我们只需要利用上面或者下面这样一半的空间就足够了，另外一半白白浪费掉了。
还有，如果我们存储的是稀疏图（Sparse Matrix），也就是说，顶点很多，但每个顶点的边并不多，那邻接矩阵的存储方法就更加浪费空间了。比如微信有好几亿的用户，对应到图上就是好几亿的顶点。但是每个用户的好友并不会很多，一般也就三五百个而已。如果我们用邻接矩阵来存储，那绝大部分的存储空间都被浪费了。
针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，我们来看另外一种图的存储方法，邻接表（Adjacency List）。
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每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点。
图中画的是一个有向图的邻接表存储方式，每个顶点对应的链表里面，存储的是指向的顶点。
前面的数组存储的是所有的顶点，每一个顶点后面连接的块代表前面顶点所指向的顶点和路线的权值。
如果该点还指向其他顶点，则继续在块后面添加。例如A指向了B权值是4，那么A后面就加上一块，之后发现A还指向D权值是5，那么就在块尾继续添加一块。其实也就是数组+链表的结构。
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根据邻接表的结构和图，我们不难发现，图其实是由顶点和边组成的。所以我们就抽象出两种类，一个是Vertex顶点类，一个是Edge边类。
package com.david.graph.graph;
/**
* 顶点
*/
public class Vertex {
String name; //顶点名称
Edge next; //从该定点出发的边
public Vertex(String name, Edge next){
this.name = name; this.next = next;
}
}
/**
* 边
*/
public class Edge {
String name; //被指向的顶点
int weight; //弧的权值
Edge next; //被指向的下一个边
public Edge(String name, int weight, Edge next){
this.name = name;
this.weight = weight;
this.next = next;
}
}
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;
import java.util.Set;
/**
* 邻接表实现
*/
public class Graph2 {
Map<String, Vertex> vertexsMap; //存储所有的顶点
Graph2(){
this.vertexsMap = new HashMap<>();
}
public void insertVertex(String vertexName){ //添加顶点
Vertex vertex = new Vertex(vertexName, null);
vertexsMap.put(vertexName, vertex);
}
public void insertEdge(String begin, String end, int weight){
//添加弧
Vertex beginVertex = vertexsMap.get(begin);
if(beginVertex == null){
beginVertex = new Vertex(begin, null);
vertexsMap.put(begin, beginVertex);
}
Edge edge = new Edge(end, weight, null);
if(beginVertex.next == null){
beginVertex.next = edge;
} else {
Edge lastEdge = beginVertex.next;
while(lastEdge.next != null){
lastEdge = lastEdge.next;
}
lastEdge.next = edge;
}
}
public void print(){ //打印图
Set<Map.Entry<String, Vertex>> set = vertexsMap.entrySet();
Iterator<Map.Entry<String, Vertex>> iterator = set.iterator();
while(iterator.hasNext()){
Map.Entry<String, Vertex> entry = iterator.next();
Vertex vertex = entry.getValue();
Edge edge = vertex.next;
while(edge != null){
System.out.println(vertex.name + " 指向 " + edge.name + " 权值 为：" + edge.weight);
edge = edge.next;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Graph2 graph = new Graph2();
graph.insertVertex("A");
graph.insertVertex("B");
graph.insertVertex("C");
graph.insertVertex("D");
graph.insertVertex("E");
graph.insertVertex("F");
graph.insertEdge("C", "A", 1);
graph.insertEdge("F", "C", 2);
graph.insertEdge("A", "B", 4);
graph.insertEdge("E", "B", 2);
graph.insertEdge("A", "D", 5);
graph.insertEdge("D", "F", 4);
graph.insertEdge("D", "E", 3);
graph.print();
}
}
图的遍历
遍历是指从某个节点出发，按照一定的的搜索路线，依次访问对数据结构中的全部节点，且每个节点仅访问一次。
前面已经讲过了二叉树的节点遍历。
类似的，图的遍历是指，从给定图中任意指定的顶点（称为初始点）出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中的所有顶点，使每个顶点仅被访问一次，这个过程称为图的遍历。遍历过程中得到的顶点序列称为图遍历序列。
图的遍历过程中，根据搜索方法的不同，又可以划分为两种搜索策略：
1）深度优先搜索
2）广度优先搜索
深度优先搜索（DFS，Depth First Search）
深度优先搜索，从起点出发，从规定的方向中选择其中一个不断地向前走，直到无法继续为止，然后尝试另外一种方向，直到最后走到终点。就像走迷宫一样，尽量往深处走。
DFS 解决的是连通性的问题，即，给定两个点，一个是起始点，一个是终点，判断是不是有一条路径能从起点连接到终点。起点和终点，也可以指的是某种起始状态和最终的状态。问题的要求并不在乎路径是长还是短，只在乎有还是没有。
假设我们有这么一个图，里面有A、B、C、D、E、F、G、H 8 个顶点，点和点之间的联系如下图所示，对这个图进行深度优先的遍历。
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必须依赖栈（Stack），特点是后进先出（LIFO）。
第一步，选择一个起始顶点，例如从顶点 A 开始。把 A 压入栈，标记它为访问过（用红色标记），并输出到结果中。
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第二步，寻找与 A 相连并且还没有被访问过的顶点，顶点 A 与 B、D、G 相连，而且它们都还没有被访问过，我们按照字母顺序处理，所以将 B 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。
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第三步，现在我们在顶点 B 上，重复上面的操作，由于 B 与 A、E、F 相连，如果按照字母顺序处理的话，A 应该是要被访问的，但是 A 已经被访问了，所以我们访问顶点 E，将 E 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。
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第四步，从 E 开始，E 与 B、G 相连，但是B刚刚被访问过了，所以下一个被访问的将是G，把G压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。
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第五步，现在我们在顶点 G 的位置，由于与 G 相连的顶点都被访问过了，类似于我们走到了一个死胡同，必须尝试其他的路口了。所以我们这里要做的就是简单地将 G 从栈里弹出，表示我们从 G 这里已经无法继续走下去了，看看能不能从前一个路口找到出路。
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如果发现周围的顶点都被访问了，就把当前的顶点弹出。
第六步，现在栈的顶部记录的是顶点 E，我们来看看与 E 相连的顶点中有没有还没被访问到的，发现它们都被访问了，所以把 E 也弹出去。
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第七步，当前栈的顶点是 B，看看它周围有没有还没被访问的顶点，有，是顶点 F，于是把 F 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。
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第八步，当前顶点是 F，与 F 相连并且还未被访问到的点是 C 和 D，按照字母顺序来，下一个被访问的点是 C，将 C 压入栈，标记为访问过，输出到结果中。
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第九步，当前顶点为 C，与 C 相连并尚未被访问到的顶点是 H，将 H 压入栈，标记为访问过，输出到结果中。
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第十步，当前顶点是 H，由于和它相连的点都被访问过了，将它弹出栈。
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第十一步，当前顶点是 C，与 C 相连的点都被访问过了，将 C 弹出栈。
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第十二步，当前顶点是 F，与 F 相连的并且尚未访问的点是 D，将 D 压入栈，输出到结果中，并标记为访问过。
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第十三步，当前顶点是 D，与它相连的点都被访问过了，将它弹出栈。以此类推，顶点 F，B，A 的邻居都被访问过了，将它们依次弹出栈就好了。最后，当栈里已经没有顶点需要处理了，我们的整个遍历结束。
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时间复杂度
邻接表
访问所有顶点的时间为 O(V)，而查找所有顶点的邻居一共需要 O(E) 的时间，所以总的时间复杂度是O(V + E)。
邻接矩阵
查找每个顶点的邻居需要 O(V) 的时间，所以查找整个矩阵的时候需要O(V^2)的时间。
广度优先搜索（BFS，Breadth First Search）
直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。
假设我们有这么一个图，里面有A、B、C、D、E、F、G、H 8 个顶点，点和点之间的联系如下图所示，对这个图进行深度优先的遍历。
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依赖队列（Queue），先进先出（FIFO）。
一层一层地把与某个点相连的点放入队列中，处理节点的时候正好按照它们进入队列的顺序进行。
第一步，选择一个起始顶点，让我们从顶点 A 开始。把 A 压入队列，标记它为访问过（用红色标记）。
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第二步，从队列的头取出顶点 A，打印输出到结果中，同时将与它相连的尚未被访问过的点按照字母大小顺序压入队列，同时把它们都标记为访问过，防止它们被重复地添加到队列中。
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第三步，从队列的头取出顶点 B，打印输出它，同时将与它相连的尚未被访问过的点（也就是 E 和 F）压入队列，同时把它们都标记为访问过。
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第四步，继续从队列的头取出顶点 D，打印输出它，此时我们发现，与 D 相连的顶点 A 和 F 都被标记访问过了，所以就不要把它们压入队列里。
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第五步，接下来，队列的头是顶点 G，打印输出它，同样的，G 周围的点都被标记访问过了。我们不做任何处理。
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第六步，队列的头是 E，打印输出它，它周围的点也都被标记为访问过了，我们不做任何处理。
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第七步，接下来轮到顶点 F，打印输出它，将 C 压入队列，并标记 C 为访问过。
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第八步，将 C 从队列中移出，打印输出它，与它相连的 H 还没被访问到，将 H 压入队列，将它标记为访问过。
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第九步，队列里只剩下 H 了，将它移出，打印输出它，发现它的邻居都被访问过了，不做任何事情。
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第十步，队列为空，表示所有的点都被处理完毕了，程序结束。
最短路径问题
广度优先搜索，一般用来解决最短路径的问题。
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时间复杂度
邻接表
每个顶点都需要被访问一次，时间复杂度是 O(V)；相连的顶点（也就是每条边）也都要被访问一次，加起来就是 O(E)。因此整体时间复杂度就是 O(V+E)。
邻接矩阵
V 个顶点，每次都要检查每个顶点与其他顶点是否有联系，因此时间复杂度是 O(V^2)。
应用
广度优先的搜索可以同时从起始点和终点开始进行，称之为双端 BFS。这种算法往往可以大大地提高搜索的效率。
社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。
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