关于逻辑回归模型的梯度下降算法

作者: 爱吃鱼的夏侯莲子 | 来源:发表于2020-01-22 16:44 被阅读0次

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逻辑回归的代价函数：

$J(\theta)=-\frac{1}{m} \sum_1^m [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)}) \log(1-h_\theta(x^{(i)}))]$

与线性回归一样，它的梯度下降算法类似：

重复直到 $J(\theta)$ 收敛 {
$\theta_j:=\theta_j−\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta)$
}

计算 $\frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta)$ 后会得到：
$\theta_j:=\theta_j−\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=0}^m((h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}), j \epsilon \left(0, 1, 2,...,n\right)$

计算后得到的和线性回归的看上去没有区别，但是两者的 $h_\theta(x)$ 不同。
线性回归的是： $h_\theta(x) = \theta^Tx$
逻辑回归的是： $h_\theta(x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$

因为预测函数改变了，所以两者的梯度下降算法是不一样的。

举例说明

假设数据集有5个样本，每个样本有2个特征值，即 $m=5,n=2$ 如下：

$X = \left[ \begin{matrix} 34.62 & 78.02 \\\ 30.29 & 3.89 \\\ 35.85 & 72.9 \\\ 60.18 & 86.31 \\\ 79.03 & 75.34 \end{matrix} \right], y = \left[ \begin{matrix}0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{matrix} \right]$

初始化 $\theta=\left[ \begin{matrix}0 \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right]$ ，然后在输入矩阵加上一列 $x_0=1$ ，
$X = \left[ \begin{matrix} 1 & 34.62 & 78.02 \\\ 1 & 30.29 & 3.89 \\\ 1 & 35.85 & 72.9 \\\ 1 & 60.18 & 86.31 \\\ 1 & 79.03 & 75.34 \end{matrix} \right]$

先计算预测函数 $h$ ：
$h=g(X\cdot\theta)$
$X\cdot\theta = \left[ \begin{matrix} 1 & 34.62 & 78.02 \\\ 1 & 30.29 & 3.89 \\\ 1 & 35.85 & 72.9 \\\ 1 & 60.18 & 86.31 \\\ 1 & 79.03 & 75.34 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right]$
代入 $g$ 函数，可以的得到预测结果 $h=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{1+e^0} \\\ \frac{1}{1+e^0} \\\ \frac{1}{1+e^0}\\\ \frac{1}{1+e^0}\\\ \frac{1}{1+e^0} \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0.5 \\\ 0.5 \\\ 0.5 \\\ 0.5 \\\ 0.5 \end{matrix} \right]$

代入J的公式
$J(\theta)=\frac{1}{m} \cdot (-y^T \log(h) -(1-y)^T \log(1-h))$
此时代价函数 $J$ 的值为： $\color{red}{0.69315}$

下面计算第一次梯度下降的梯度值，代入下面的公式
$\theta = \theta - \frac{\alpha}{m} X^T(h-y)$

即：
$\theta = \theta - \alpha\frac{1}{5} \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ 34.62 & 30.29 & 35.85 & 60.18 & 79.03 \\\ 78.02 & 3.89 & 72.9 & 86.31 & 75.34 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0.5 - 0 \\\ 0.5-0 \\\ 0.5-0 \\\ 0.5-1 \\\ 0.5-1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right] - \alpha \cdot \left[ \begin{matrix} 0.1 \\\ -3.846 \\\ 3.317 \end{matrix} \right]$

假设 $\alpha=0.01$ ，则 $\theta=\left[ \begin{matrix}0.001 \\\ 0.03846 \\\ -0.03317\end{matrix} \right]$

再次计算代价函数 $J$ 为： $\color{red}{0.51494}$

这个例子用矩阵和向量来进行了代价函数和梯度下降的计算。

转载自：
https://codeeper.com/2020/01/11/tech/machine_learning/classification_gradient_descent.html

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