循环节为abc，求最简分子数

题目

0.abcabc......循环节为abc，将其化成最简分数，分子有多少种，编程实现。

思路

1.题目与无限循环小数，循环节相关，与之前的通过余数寻找循环节的题目相似，因此初始思路是利用余数，循环节长度找到分子与abc的关系。

2.但循环节长度确定为3，格式确定为0.abc...，应该有更简便的方式将其转化为分数形式，于是搜索找到：
0.a... * 10 - 0.a... = a.a... - 0.a...
0.a... * (10-1) = a
0.a... = a / 9
同理可得：
0.abc... * 1000 - 0.abc... = abc.abc... - 0.abc...
0.abc... * (1000-1) = abc
0.abc... = abc / 999

3.题目被转换成 abc / 999 在最简形式下分子有多少种。
abc的范围可以确定为1-999（0明显不成立），分子可能出现重复的情况为：abc与999（3 * 3 * 3 * 37）拥有共同因数，分数被约分，分子的值重复出现。因此通过循环判断abc在各值时是否能够被3与37整除可以得到答案。
当时想到以下结构：

微信截图_20190425092725.png

当abc为3、9、27的倍数时，分子被化为abc/3、abc/9、abc/27。由于abc取值上线为999，还可能出现abc为81的倍数，243的倍数等，此时abc仍然只能被化为abc/27，因为999的可提供的因数只到27。例如当abc为81（3 * 37）时，分数的值为3/37，分子3第一次出现（之前出现时可以被约分化简）。abc为243的倍数时同理。
因此，还需要在判断时增加abc无法被81整除的约束。

代码

#include <stdio.h>
int main()
{
    int num=0;
    for (int i = 1; i <= 999; i++)
    {
        if ((i % 3 == 0 || i % 37 == 0)&&i%81!=0)
            ;
        else
            num++;
    }
    printf("%d", num);
}