前提

务必启用calc库：\usetikzlibrary{calc}
坐标运算指令应置于($...$)内，其运算结果也是一个坐标
可使用二元数组(1, 2)或node/coordinate名称(a)表示坐标，注意必须带括号()

加减运算

格式为($(a) ± (b)$)，含义自明：

\begin{tikzpicture}
\draw[help lines] (0, 0) grid (3, 2);

\fill[red] ($(1, 1) + (0, 0.5)$) circle (2pt);
\coordinate (a) at (3, 2);
\fill[blue] ($(a) - (0.5, 1)$) circle (2pt);
\end{tikzpicture}

加减运算

数乘运算

格式为($<factor>*(a)$)，其中<factor>是数乘的因子，可以是数值或者能计算得到数值的表达式：

因子<factor>与坐标(a)之间的乘号*前后都不能带空格
采用表达式作为因子<factor>时，应将表达式置于大括号{}内

\begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (0,0) grid (3,2);

\fill [red] ($2*(1, 1)$) circle (2pt);
\coordinate (a) at (1, 0.5);
\fill [blue] (${1 + 1}*(a)$) circle (2pt);
\fill [black] (${(5 - 2) * log10(10)}*(a)$) circle (2pt);
\end{tikzpicture}

数乘运算

Partway运算

简单格式为($(a)!<factor>!(b)$)，等价于($(a) + <factor>*($(b) - (a)$)$)，即从坐标(a)出发沿直线向坐标(b)行进二者间距的<factor>倍所得到的终点坐标，其中<factor>可正可负（负值表示反方向行进），<factor>取1时将得到(b)，<factor>取0时将得到(a)。

完整格式为($(a)!<factor>!<angle>:(b)$)，含义是先令(b)绕(a)逆时针旋转<angle>角度（°），然后再同上操作得到终点坐标。

\begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (0,0) grid (3,3);

\draw(0, 1) -- (2, 2);
\fill[red] ($(0, 1)!0.5!(2, 2)$) circle(2pt);

\coordinate (a) at (2, 0);
\coordinate (b) at (3, 3);
\draw (a) -- (b);
\fill[blue] ($(a)!2/3!(b)$) circle(2pt);
\coordinate (c) at ($(a)!2/3!90:(b)$);
\draw[densely dashed] (a) -- (c);
\fill[black] (c) circle(2pt);
\end{tikzpicture}

Partway运算

Distance运算

简单格式为($(a)!<distance>!(b)$)，含义与Partway运算类似，只是将行进距离指定为<distance>；<distance>可正可负，须标明长度单位（pt、cm、mm、ex、em、in、pc等）。

完整格式为($(a)!<distance>!<angle>:(b)$)，含义是先令(b)绕(a)逆时针旋转<angle>角度（°），然后再同上操作得到终点坐标。

\begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (0,0) grid (3,3);

\draw(0, 1) -- (2, 2);
\fill[red] ($(0, 1)!20pt!(2, 2)$) circle(2pt);

\coordinate (a) at (2, 0);
\coordinate (b) at (3, 3);
\draw (a) -- (b);
\fill[blue] ($(a)!1.5cm!(b)$) circle(2pt);
\coordinate (c) at ($(a)!1.5cm!90:(b)$);
\draw[densely dashed] (a) -- (c);
\fill[black] (c) circle(2pt);
\end{tikzpicture}

Distance运算

Projection运算

简单格式为($(a)!(c)!(b)$)，即坐标(c)在(a)、(b)连线上的投影点（过(c)向(a)、(b)连线做垂线得到的垂足）。

完整格式为($(a)!(c)!<angle>:(b)$)，含义是先令(b)绕(a)逆时针旋转<angle>角度（°），然后再同上操作得到终点坐标。

\begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (0,0) grid (3,3);

\coordinate (a) at (2, 0);
\coordinate (b) at (3, 3);
\coordinate (c) at (1, 1.5);
\draw (a) -- (b);

\coordinate (d) at ($(a)!(c)!(b)$);
\coordinate (e) at ($(a)!(c)!90:(b)$);

\draw[densely dashed] (c) -- (d);
\draw[densely dotted] (a) -- (e);
\draw[densely dashed] (c) -- (e);
\fill[red] (d) circle(2pt);
\fill[blue] (e) circle(2pt);
\end{tikzpicture}

Projection运算