线性空间的概念与性质

1.什么是线性空间

集合---现代数学的基本概念。

例如：将26个英文字母放在一起形成一个集合。
又如：将所有整数放在一起形成整数集。
再如：将线性方程组的所有解放在一起，形成解集。

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集合---通常用大写的英文字母表示，其元素用小写的字母表示。

一些特殊的集合通常用特定的符号表示，如：
空集：
有理数集：
实数集：
复数集：

有些集合的元素可以做"运算"。
有些集合的元素不可以做"运算"。
定义1（数域）：设是一个非空数集，且，若对F中任意元素与，有 则F称为数域。
简而言之：数域就是对加减乘数四则运算封闭的非空数集。
例如实数集，复数集，但是自然数集不是数域（除法不封闭）。
定义2（线性空间）：设F是一个数域，V是一个非空集合。对V中的任意元素和，定义加法运算“+”，且有对F中任意元素k，以及V中的任意元素，定义数乘运算“”，且有若加法运算和数乘运算满足下列性质，则称V为数域F上的线性空间，记为V（F）。
加法满足：
1.交换律
2.结合律
3.零元：V中存在一元素，记为,使得对V中任意元素，均有。
4.负元：对中任意元素，均存在元素b，使得，记为。
乘法满足：
1.结合律：对于任意的
2.对V中任意元素a，有
3.分配律：
4.分配律（向量分配律）：对任意的
8个性质加加法乘法的封闭性，一共10个性质。

注：
1.线性空间V(F)中的元素称为向量，通常用希腊字母表示，例如
2.当数域F是实数域时，称V(F)为实线性空间，当数域F是复数域时，称V(F)为复线性空间。
3.在不强调数域F情况下，可以简记为V

2.例子

例一： n维实向量集合

例二： n维复向量集合

当数域F是实数域时，是实线性空间。
当数域F是复数域时，是复线性空间。

例三： 多项式集合

即由所有次数不超过n的实系数多项式全体组成的一个集合，按照通常的多项式加法和数乘多项式运算，构成一个实线性空间。

例四： 矩阵集合

按照通常的矩阵加法和数乘矩阵运算，构成实线性空间，成为实矩阵空间。
同理可定义复矩阵空间：

复矩阵集合

例五：

设A是一给定的实矩阵，记

image.png
则N(A),R(A)按照向量的加法和数乘均是实线性空间。

3.线性空间的性质

1）线性空间V中的零元唯一。

证明：
假设与均是V的零元。
首先，因为是零元，由零元素的性质有：
由于也是零元，同理：综上有o1=o2,V中的零元唯一。

2）线性空间V中的负元唯一。

证明：
假设a，b均是V的负元。
首先，因为a是负元，由负元的性质有：同理：
综上a=b，所以V中的负元唯一。

3）对于线性空间V中的任意a，有。

4）对于数域F中的任意数k，有

思考题：

思考题
证明：
加法封闭，乘法封闭，
加法满足交换律、结合律，零元为1，负元为-1，
乘法满足结合律、1*a=a^1=a、分配律、向量的分配律，
因此是线性空间。