流体力学第五章

一、水波动力学的基本方程和边值条件

1. 水波动力学的基本方程
   理想水波运动属于不可压缩流体的无旋流动。
   速度势方程：
   积分：
   通常
2. 边值条件

• 固壁不可穿透条件

  
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• 静止固壁不可穿透条件

  
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• 水底壁面不可穿透条件
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  水面方程
• 水面运动学条件（光滑流体面保持性）
  
• 水面动力学条件（压强条件）
  
  忽略表面张力：
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  水面柯西拉格朗日积分：
  
  域内柯西拉格朗日积分：
  

二、小幅水波的线性近似解

1. 基本方程和边值条件线性化
   小振幅波
   小振幅波：
   
   量纲形式方程
2. 小幅水波线性近似解
   单色水波，其中为波数，为圆频率，为波速。
   速度势，代入拉普拉斯方程得：
   ，通解为
   边界条件为
   得到速度势振幅：

3. 无限水深小幅水波线性近似解
   令，得到：

三、线性水波流场的迹线和流线

1. 流线
   将和表达式代入流线方程，得到：
   

2. 迹线
   将和表达式代入迹线方程
   对于小振幅水波运动，流体质点在原静止平衡位置附近振荡，即，

3. 无限深水波流线和迹线
   流体质点近似运动轨迹：
   在深水波中，流体质点近似运动轨迹为圆，圆半径随水深逐渐减小。

四、线性水波的色散关系

色散性：波速与波数有关的性质。

• 当水深很浅时，。
• 当水深很浅时，。其中。

五、涟波的色散关系

当波长小到几个厘米时，表面张力的作用就开始重要起来，当远大于重力的作用时，形成毛细波 (表面张力波)；介乎毛细波和重力波之间的称为涟波。
考虑表面张力后，相当于重力加速度变为。

六、非线性水波的解