7. 关键路径

关键路径 ：

从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径

关键路径代表 ： 1) 图中最长路径； 2) 完成整个工期的最短时间

关键路径上的活动称为关键活动

针对AOE网：源点，汇点，AOE网的边的权值表示活动持续的时间
活动是边，事件是点 ! ! !

求关键路径的算法步骤

1. 根据图G求出其拓扑排序序列a和逆拓扑排序序列b（注：逆排序序列按拓扑排序算法，改出度为0的先输出即可）
2. (1) 根据拓扑排序序列a求事件的最早发生时间（Ve记录）
   初始化：从源点开始，Ve(源点) = 0
   求事件K的最早发生时间有公式： Ve(K) = max { Ve{Ji} + <Ji,K>的权值 }；其中J是K的前驱（多前驱），都算出来，选Max
   (2) 根据逆拓扑排序序列b求事件的最迟发生时间（Vl记录）
   初始化：从汇点开始，Vl(汇点) ＝ Ve(汇点)
   求事件K的最迟发生时间有公式： Vl(K) = min { Vl{Mi} + <Mi,K>的权值 }；其中M是K的后继（多后继），都算出来，选Min
3. 根据(2)中结果求每个活动的最早发生时间和最迟发生时间，有如下关系：
   活动的最早发生时间 ＝ 引起该活动的事件的最早发生时间
   活动的最迟发生时间 ＝ (该活动结束点事件的最迟发生时间) - (该活动的持续时间)
4. 找出最早发生时间和最迟发生时间相同的活动，即为关键活动
   由关键活动所连成的路径即为关键路径.

关键字：

1. 拓扑排序序列a&逆拓扑排序序列b
2. 事件的最早发生时间记为Ve
   事件的最迟发生时间记为Vl
事件即顶点
3. 活动的最早发生时间e
   活动的最迟发生时间l
活动即边

4. 引起该活动的事件 --- 该活动以此事件为起点

   
   
   

   该活动结束点事件

   
   

关键路径实现代码：