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有心力问题（10）：拉普拉斯-龙格-楞茨矢量

有心力问题（10）：拉普拉斯-龙格-楞茨矢量

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:41 被阅读0次

\bullet在有心反比力场中，如果从行星在轨道上的径向角频率与绕转角频率的比值\frac{\omega_r}{\omega_\theta}为整数或者整分数时，该轨道被称为通约轨道(commensurate orbit)，绕转周期被称为通约周期。通约轨道封闭，并且行星在相同轨迹上做持续的周期性绕转。当\omega_\theta > \omega_r时，只有当周期通约，轨道才可能封闭。当\omega_\theta = \omega_r时，运动的轨道才是我们的开普勒轨道，这样的轨道被称为退化轨道(degenerate orbit)。

在形如U(r) = -\frac{\alpha}{r} （\alpha符号任意）这样更为一般的开普勒有心力场中，存在一个特有的运动积分（守恒量）：

\boxed{\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{M} - m\alpha\boldsymbol{\hat{r}} = \text{const.}}

这个守恒矢被称为拉普拉斯-龙格-楞茨矢量（Laplace-Runge-Lenz），可被简略地称为“LRL矢量”。它是开普勒轨道中，除角动量和能量之外的第五个运动积分。

\bullet推导：

系统的拉格朗日函数具有形式：\mathscr{L} = T - U(r) = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + \frac{\alpha}{r}

系统的广义力为：\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} = m\dot{\phi}^2r - \frac{\alpha}{r^2}，它是一个关于r的函数，不妨将其令为f(r)

根据欧拉-拉格朗日方程：\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}} = \dot{p}

于是写成矢量的形式则有：\mathbf{\dot{p}} = f(r)\boldsymbol{\hat{r}} = f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}

不妨计算上述矢量与角动量\mathbf{M}的叉乘积：\mathbf{\dot{p}} \times \mathbf{M} = \frac{mf(r)}{r} [\mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}})]

等式右边的矢量三重积我们可以利用公式：\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}( \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{C}) - \mathbf{C}( \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B})

得到：\mathbf{\dot{p}} \times \mathbf{M} = \frac{mf(r)}{r}[\mathbf{r}(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{r}}) - r^2\mathbf{\dot{r}}] = \frac{mf(r)}{r}\left[ r\dot{r}\mathbf{r} - r^2\mathbf{\dot{r}}\right] = -mf(r)r^2\left[ \frac{\dot{r}}{r} - \frac{\dot{r}\mathbf{r}}{r^2} \right] = \boxed{-mf(r)r^2\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{\hat{r}}\right)}

，其中第二个等号处用到了关系：\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{r}} = \mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \frac{d}{dt}\mathbf{r} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}r^2 = r\dot{r}

等式左边的角动量\mathbf{M}是一个守恒量，所以\frac{d}{dt}\mathbf{M} = 0\implies \boxed{\mathbf{\dot{p}} \times \mathbf{M} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{p} \times \mathbf{M}\right)}

对于开普勒问题，势函数具有形式：U(r) = -\frac{\alpha}{r}，则保守力\mathbf{F}(r) = \mathbf{\dot{p}} = -\boldsymbol{\nabla}U(r) = -\frac{\alpha}{r^2}\boldsymbol{\hat{r}} \implies \boxed{f(r) = -\frac{\alpha}{r^2}}

全部代入等式后得到：\frac{d}{dt}(\mathbf{p} \times \mathbf{M}) = \frac{d}{dt}\left( m\alpha \boldsymbol{\hat{r}} \right)，即\frac{d}{dt}\left( \mathbf{p} \times \mathbf{M} - m\alpha \boldsymbol{\hat{r}}\right) = 0 ，

令其为\mathbf{A}，则\frac{d\mathbf{A}}{dt} = 0 \implies \boxed{\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{M} - m\alpha \boldsymbol{\hat{r}} = \text{const.}}

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