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2019-03-20

2019-03-20

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-20 15:28 被阅读0次
  • 行列式的性质
  • |A^{T}| = |A|
  • 互换行列式中的两行（列），行列式变号
    推论：如果行列式D中有两行（列）完全相同，则D = 0
  • 如果行列式D 中有两行（列）成比例，则D = 0
  • 设A,B为n阶方阵，则|AB| = |A|\times|B|(注意成立的前提是A,B为n方阵)
  • 行列式按行（列）展开
  • 设A = (a_{ij})_{n\times n},n\geq 2则
    • |A| = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+...+a_{in}A_{in} = \sum_{j =1}^n a_{ij}A_{ij},其中1\leq i \leq n按照第i行展开
  • |A| = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+...+a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij},其中1\leq j \leq n按照第j列展开
  • |A| = a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+a_{i3}A_{j3}+...+a_{in}A_{jn} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}= \begin{cases}|A|,i = j\\0,i \neq j \end{cases}
  • |A| = a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+a_{3i}A_{3j}+...+a_{ni}A_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj}= \begin{cases}|A|,i = j\\0,i \neq j \end{cases}
    • = \delta_{ij}|A|
    • 克罗内克符号：\delta_{ij} = \begin{cases} 1,i = j\\ 0,i \neq j\end{cases}
  • 行列式的计算
  • 二三阶行列式，可用对角线法则
  • 常见的计算高阶行列式的方法
    • 利用初等变换化为三角形
    • 降阶
  • n阶（n\geq2）范德蒙行列式
  • D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1&...&1 \\ a_1&a_2&...&a_n\\a_1^2&a_2^2&...&a_n^2\\...\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&...&a_n^{n-1}\end{vmatrix} = \prod_{1\leq i < j\leq n}
  • 伴随矩阵和逆矩阵
  • 定义，设n阶矩阵\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix},其中n\geq 2
  • 则称A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}&...&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&...&A_{n2}\\...\\A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn}\end{bmatrix}
    • 其中A_{ij}为A中a_{ij}的代数余子式
  • AA^* = |A|E
  • 设A为n阶矩阵，n\geq2,A^*为A的伴随矩阵，则AA^* = A^*A = |A|E
  • 设A为n阶方阵，则A可逆等价为|A| \neq 0
  • 若n\geq 2，且|A|\neq 0,则A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*
  • 设A为n阶方阵，若存在B使得AB = E(BA =E),则A可逆，且A^{-1} = B

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