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2018-12-06 第十四章 代数系统

2018-12-06 第十四章 代数系统

作者: XiaoShanHsj | 来源:发表于2018-12-08 23:10 被阅读0次

14.1 二元运算及其性质

1.设S是一个非空集合，映射f:S^n\rightarrow S称为S上的一个n元运算。

2.二元运算：封闭的/可交换的/可结合的/幂等的

3.\forall x,y,z\in S,x*(y·z) = (x*y)·(x * z)且(y·z)*x = (y*x)·(z*x),则称运算*是关于·可分配的

4.*和·是可换运算，且\forall x,y\in S,x*(y·z) = x及x·(x * y) = x，则称运算*和·满足吸收律。

14.2代数系统的定义和特异元

1.一个非空集合S连同若干个定义在 S 上的运算f_1,f_2,…,f_k所组成的系统称为一个代数系统，记为<S,f_1,f_2,…,f_k>。

2.特异元。

3.设<S，·>是一个代数系统，则

    ①如果\exists e\in S使\forall x\in S,e\cdot x = x\cdot e = x,则称e为（代数系统）的幺元（或单位元）

    ②如果存在\theta \in S,使\forall x\in S\theta · x = x · \theta = \theta ，则称\theta 为系统的零元

    ③a \in S,如果a · a = a,则称a是系统的幂等元。

4.设在代数系统中<S，·>中，e是幺元，a是S中的一个元素。如果存在b\in S使得a·b=b·a=e，则称b是a的逆元，记为b = a^{-1}.

5.设<S，·>是一个代数系统。如果存在幺元，则幺元是唯一的；如果存在零元，则零元是唯一的；如果元a有逆元，且“·”可结合，则逆元是唯一的。

6.设<S，·>是一个代数系统，则

    ①当“·”是封闭的，称<S,·>为广群。

    ②如果<S,·>是广群，且“·”是可结合运算，则称<S，·>是半群。

    ③如果<S,·>是半群，且存在幺元，则称<S,·>为含幺半群

    ④如果<S,·>为含幺半群，且每个元素都有逆元，则称<S，·>为群。

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