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证明在特定条件下，一个群的模分解在同构意义下是唯一的

证明在特定条件下，一个群的模分解在同构意义下是唯一的

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-16 07:02 被阅读0次

设p是一个素数。考虑半直积群G=L\times H，其中L是一个循环p-群，H是一个有限循环群以及一个有限生成的\mathbb{F}_p[H]-模M，满足Hom_H(L,End_{\mathbb{F}_p}(M))=0。这里，元素h\in H通过公式(h\varphi)(m)=h\varphi(h^{-1}m) (m\in M）作用在元素\varphi\in End_{\mathbb{F}_p}(M)上。假设我们有一个\mathbb{F}_p[H]-模分解

M=M_1\oplus \ldots \oplus M_n, 使得对于任意i\neq j, Hom_H(M_i,M_j)=0成立。证明：对任意正整数d，以及任意(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-模N满足N\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p作为\mathbb{F}_p[G]-模同构于M（这里我们将H自然地看作G的商群），都存在唯一一个(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-模分解

N=N_1\oplus \ldots \oplus N_n, 使得对于任意1\leq i\leq n, N_i\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p\simeq M_i成立。

证:

一、证明分解的存在性

由于N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p \simeq M，设\varphi:N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \rightarrow M是一个同构映射。对于每个i，令M'_i = \varphi^{-1}(M_i)。考虑 N的子模 N_i=\{n \in N \mid n \otimes 1 \in M'_i \}。

1.证明N=\bigoplus_{i=1}^n N_i:

  • 任取 n \in N.则 n \otimes 1 \in N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p。由于N \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \cong M 且M = \bigoplus_{i=1}^n M_i，所以 n \otimes 1 = \sum_{i=1}^n (m_i \otimes 1)。其中 m_i\in M_i。由 M'_i 的定义可知，存在n_i\in N 使得n_i \otimes 1 = m_i \otimes 1 \in M'_i。从而，n = \sum_{i=1}^n n_i\in \sum_{i=1}^n N_i。

2.证明N_i\cap\sum_{j\neq i}N_j = \{0\}:

  • 假设存在n \in N_i \cap \sum_{j\neq i}N_j，则n =\sum_{j\neq i}n_j。其中 n_j\in N_j。那么n \otimes 1 \in M'_i。同时 n \otimes 1 = \sum_{j\neq i}(n_j \otimes 1)。由于n_j\otimes1 \in M'_j 且 \text{Hom}_H(M_i, M_j) = 0 (i\neq j)，所以n_j \otimes 1 在M'_i 的分量是0。从而 n_j= 0 (j\neq i)，即n= 0。

综上，N-N_1 \oplus \cdots \oplus N_n 是(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-模分解。

二、证明分解的唯一性

假设存在两个不同的模分解N = N_1 \oplus \cdots \oplus N_n 和 N = N_1' \oplus \cdots \oplus N_n'。对于任意 i，考虑N_i \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\cong M_i 和N_i' \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \cong M_i。由于同构映射的唯一性，对于每个i存在唯一的同构\psi_i: N_i\otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p \rightarrow N_i' \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p。定义映射\tau_i:N_i \rightarrow N_i'。使得 \tau_i(n) \otimes 1 = \psi_i(n \otimes 1)。

1.证明 \tau_i 是模同态:对于任意 a, b \in N_i 和 g \in G，有\tau_i(a + b) = \tau_i(a) +\tau_i(b)，因为(a + b) \otimes 1 = a \otimes 1+ b \otimes 1，所以 \psi_i((a + b) \otimes 1)=\psi_i(a \otimes 1) + \psi_i(b \otimes 1)。即 \tau_i(a + b) = \tau_i(a)+ \tau_i(b)。同理，\tau_i(g\cdot a) =g\cdot \tau_i(a).因为g \cdot (a \otimes 1) = (g \cdot a) \otimes 1，所以 \psi_i(g\cdot (a \otimes 1)) = g\cdot \psi_i(a \otimes 1)，即 \tau_i(g\cdot a) =g\cdot \tau_i(a)。

2.证明 \tau_i是同构:由于\psi_i 是同构，所以\tau_i 是单射和满射。单射性:若

\tau_i(a) = 0.则 \psi_i(a \otimes 1) = 0 \otimes 1，即a \otimes 1=0，所以a=0。满射性:对于任意n'\in N_i'。存在 n \in N_i 使得\psi_i(n \otimes 1) = n' \otimes 1。从而\tau_i(n) = n'。

综上，N_i=N_i'，所以模分解是唯一的。结论

因此，对于任意正整数d 和任意(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-模 N，都存在唯一的(\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z})[G]-模分解N=N_1 \oplus \cdots \oplus N_n，使得对于任意1 leqi \leq n,N_i \otimes_{\mathbb{Z}/p^d\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p\cong M_i。

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