整式、分式与函数

作者: 我可能是个假开发 | 来源:发表于2024-09-27 21:12 被阅读0次

整式的乘除探索之旅
分式课本回顾200521
008 分式
求函数定义域的常用方法
整式的乘除法
整式的乘除运算
分式教学探索
2021-05-22
不是自己的孩子，不知道心疼！
一题思考（分式方程、一次函数、二次函数类应用题）

一、整式

1.整式及其运算

1.1 常用公式

平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
完全平方公式： $(a±b)^2 = a^2±2ab+b^2$
3个数的完全平方公式： $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
配方公式： $a^2+b^2+c^2±ab±bc±ac=\frac{1}{2}[(a±b)^2+(b±c)^2+(a±c)^2]$
立方和公式： $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
立方差公式： $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
和的立方公式： $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
差的立方公式： $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

1.2 系数计算

$f(x) = a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+·······+a_nx^n（n∈Z^+）$
令 $x=1$ 时， $f(1) = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+·······+a_n$ （偶此项系数和 + 奇次项系数和）
令 $x=-1$ 时， $f(-1) = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4+·······+a_n$ （偶此项系数和 - 奇次项系数和）

$偶次项系数和 = \frac{f(1)+f(-1)}{2}$

$奇次项系数和 = \frac{f(1)-f(-1)}{2}$

令 $x=0$ 时， $f(0) = a_0$ （计算常数项）

1.3 整式的除法

整式 $F(x)$ 除以整式 $f(x)$ 的商式为 $g(x)$ ，余式为 $r(x)$ ，则有 $F(x)=f(x)g(x)+r(x)$ ，并且r(x)的次数要小于f(x)的次数.
当 $r(x)=0$ 时， $F(x)=f(x)g(x)$ ，此时称 $F(x)$ 能被 $f(x)$ 整除，记作 $f(x) | F(x)$ .

1.4 因式定理(整除)

$f(x)$ 含有 $(x-a)$ 因式 ⇔ $f(x)$ 能被 $(x-a)$ 整除 ⇔ $f(a)=0$

1.5 余式定理(非整除)

由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式就为常数，从而得到余式定理:

多项式 $f(x)$ 除以 $ax -b$ 的余式为 $f(\frac{b}{a})$

可以理解为 $f(x)$ 除以 $ax -b$ 的余式为该点的函数值。因式定理可以看成余式定理的特殊情况.

2.分母根式有理化

$\frac{1}{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}} = \frac{1}{k}(\sqrt{n+k}+\sqrt{n})$

$\frac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}} = \frac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})$

3.整式的因式与因式分解

3.1 双十字相乘法

当遇到二次六项式 $ax^2+bxy +cy^2 +dx+ey +f$ 时，可以用双十字相乘法进行因式分解，其步骤是:
(1)用十字相乘法分解 ax'+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第二列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx.

步骤：

分解平方项系数及常数项
$a_1c_2+a_2c_1=b$ ， $c_1f_2+c_2f_1=e$ ， $a_1f_2+a_2f_1=d$

二、分式

1.概念

分母有未知数的分式

糖水不等式（加浓原理）

a>b>0 ; m>0
真分数： $\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$

假分数： $\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$

三、函数

1.一元二次函数及其图像

1.1三种形式

标准式： $y=ax^2+bx+c$
配方式： $y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
零点式： $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
x1和x2表示一元二次函数与X轴的两个交点的横坐标，或方程的两个根

求根公式： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

判别式：
$\Delta=b^2-4ac$

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。这意味着二次函数与x轴有两个交点。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。这意味着二次函数与x轴有一个相切的交点。
3.当Δ<0时，方程没有实数根。这意味着二次函数与x轴没有交点。

1.2性质

开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向上
对称轴：
标准式： $x=-\frac{b}{2a}$ （当b=0时，一元二次函数关于y轴对称）
零点式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$
$f(a+t)=f(a-t)：x=a$
顶点坐标： $（-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}）$
y轴截距： $y=c$ （当c=0时，一元二次函数图像过坐标原点）
最值：
当a>0时，有最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ ，没有最大值
当a<0时，有最大值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ ，没有最小值

代数的至高原则：n次多项式一定能够分解为n个一次因式的乘积。

2.指数函数

2.1概念

$y=a^x（a>0,a≠1）$

定义域： $（-\infty，+\infty）$
值域： $（0，+\infty）$ ，即图像在x轴上方
图像恒过（0,1），即x=0是，y=1
单调性：
0<a<1时，在R上函数严格单调递减。
a>1时，在R上函数严格单调递增。

2.2图像

$y=a^x（a>1）$

a>1.png

$y=a^x（0<a<1）$

0<a<1.png

3.对数函数

3.1概念

$y=log_ax（a>0,a≠1）$

定义域： $（0，+\infty）$ 图像在y轴右侧
值域：R
与 $y=a^x$ 互为相反数
图像恒过定点（1,0），即x=1时，y=0
单调性：
0<a<1时，在 $（0，+\infty）$ 上是单调递减
a>1时，在 $（0，+\infty）$ 上是单调递增

真数>0

3.2图像

$y=log_ax（a>1）$

a>1.png

$y=log_ax（0<a<1）$

0<a<1.png

函数加减一个数（只改变y值），只会影响图像的上下平移。

4.指数和对数运算公式

1.指数运算公式（只看乘除）

$a^m·a^n=a^{m+n}$

$a^m÷a^n=a^{m-n}$

$(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}$

$a^m·b^m = (ab)^m$

$a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1$

$a^{\frac{m}{n}} = ^n\sqrt{a^m}$

2.对数的运算公式（只看加减）

$log_am+log_an = log_amn$

$log_am - log_an = log_a\frac{m}{n}$

$log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}log_ab$
$m=1时，log_ab^n=nlog_ab$
$m=n时，log_{a^n}b^n=log_ab$

$log_ab=\frac{1}{log_ba}$

$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}（一般c取10或e）$

$log_ab·log_bc·log_cd·log_de = \frac{lgb}{lga}·\frac{lgc}{lgb}·\frac{lgd}{lgc}·\frac{lge}{lgd} = \frac{lge}{lga} = log_ae$ （底数和真数抵消）
（前面留底数，则后面留真数；前面留真数，则后面留底数）

$log_aa^b = b$
$log_aa=1$
$log_a1=0$
$a^{log_aN} = N$

5.幂函数

5.1 定义

能写成 $y = x^a$ 这种形式的函数

自变量是底数
$x^a$ 前的系数必须为1
$x^a$ 中的指数a可以是任意实数，即a∈R

5.2 定义域

全体实数R
当x作为分母：x≠0
当x开偶次方根：x≥0
当x作为分母开偶次方根：x＞0

根据指数a讨论x的取值范围：

当a=0时：x≠0，则幂函数有意义，此时定义域为 $\{x|x≠0\}$
当a为正整数：全体实数
当a为负整数：x≠0，定义域为 $\{x|x≠0\}$
当a为正分数：分母为奇数，定义域为R；分母为偶数，定义域 $\{x|x≥0\}$
当a为负分数：分母为奇数，定义域 $\{x|x≠0\}$ ；分母为偶数，定义域 $\{x|x＞0\}$

5.3 图像

image.png

5.4 奇偶性

函数关于原点对称：奇函数
函数关于y轴对称：偶函数

代数判断函数奇偶性：

先看其定义域是否关于原点对称，若其定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶
在定义域关于原点对称的前提下：
若 $f(-x) =f(x)$ ，则函数为偶函数
若 $f(-x) = -f(x)$ ，则函数为奇函数

第一步: 先看分母：（分母要为奇）

分母是偶数：函数没有奇偶性
分母是奇数：函数有奇偶性

第二步: 再看分子：（分子奇，奇；分子偶，偶）

分子是奇数：函数就是奇函数
分子是偶数：函数就是偶函数

四、特殊函数

1.最值函数

最大值函数
max 表示最大值函数，比如 max{x，y，z}表示 x，y，z中最大的数
对于 max 函数图像，先画出各函数图像然后取上方部分，存在最小值。

最小值函数
min 表示最小值函数，比如 min{x，y，z}表示 x，y，z 中最小的数；
对于min 函数图像，先画出各函数图像，然后取下方部分，存在最大值

2.绝对值函数

① $y=|ax+b|$

先画 $y=ax+b$ 的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方.

image.png

② $y=|ax^2+bx+c|$

先画 $y=ax^2 +bx+c$ 的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方.

image.png

③ $y=ax^2+b|x|+c$

先画 $y=ax^2 +bx+c$ 的图像，再将y轴左侧图像删掉，替换成y轴右侧对称过来的图像

image.png

④ $|ax+by|=c$

表示两条平行的直线 $ax+by=±c$ ，且两者关于原点对称

image.png

⑤ $|ax|+|by|=c$

图像为菱形；中心：令两个绝对值为0的x和y(0,0)，对角线长度2c
当a=b时，表示正方形，当a≠b时，表示菱形.

四条线段
围成一个菱形
$S = \frac{2c^2}{|ab|}$
a≠b.png
a=b.png

总结：
$|x-m|+|y-n|=c$
中心：(m,n)
对角线长度：2c（以中心点为中心，上下左右各延长一个单位）

总结： $|ax-b|+|cy-d|=e(ac≠0，e>0)$

形状：当a=c时，为正方形，当a≠c时，为菱形.
对称中心: $(\frac{b}{a},\frac{d}{c})$
图形面积： $\frac{2e^2}{ac}$
$|ax-b|+|cy-d|=e$ 所围面积与 $|ax|+|cy|=e$ 所围面积相等

⑥ $|xy|+ab=a|x|+b|y|$

当a=b时，表示正方形，当a≠b时，表示矩形.

image.png

四条直线
构成矩形
S = 4|ab|

总结：

绝对值内部只有x时，即|x|出现时，图像右翻左
整体函数在绝对值内部，图像下翻上

3.分段函数

有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数.分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式

4.复合函数

5.反比例函数

$y=\frac{k}{x}（k>0）$

image.png

$y=\frac{k}{x}（k<0）$

image.png

五、集合

1.集合概念

集合: 将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫作集合，简称集
元素: 集合中各个对象叫作这个集合的元素.
表示: 集合通常用大写的拉丁字母表示，如 A，B，C，P，Q等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a，b，c，p，q等.

2.元素和集合的关系

属于: 如果a是集合 A的元素，就说a属于 A，记作 $a∈A$
不属于: 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 $a∉A$

3.集合中元素的性质

确定性: 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可.
互异性: 集合中的元素没有重复.
无序性: 集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出).

4.集合与集合之间的关系

任何一个集合是它本身的子集，记为 $A \subseteq A$ .
空集是任何集合的子集，记为 $∅ \subseteq A$ ;
空集是任何非空集合的真子集
$n$ 个元素的子集有 $2^n$ 个;
$n$ 个元素的真子集有 $2^n-1$ 个;
$n$ 个元素的非空子集有 $2^n-1$ 个;
$n$ 个元素的非空真子集有 $2^n-2$ 个;

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1.最值函数

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①

②

③

④

⑤

⑥

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