一、问题背景
领导：你这信评模型的打分只有针对信用债的啊，利率债呢？
我：利率债不在本模型的讨论范围之内，所以就没加。
领导：那不行，你这评级的符号没从头开始啊！咱们的信用等级符号是从利率债开始的。加上！
我：（脑子飞速地转了一下，想起了许多英雄人物的形象：Gauss、Newton、Leibniz、Weierstrass、Cauchy、Riemann、Lebesgue……）好的，领导。
哎，想当初，VaR也是这样被领导问出来的；而且这个问题似乎很有意思，那我就来琢磨琢磨吧。
二、问题描述
我现在的信评模型得分是从-4.5至+4.5分（极少数情况会比+4.5再高一些，但是不会超过+5.5），然后领导希望换算成百分制，同时把利率债的得分糅进这个百分制得分里。从信评理论上讲，利率债的信用资质是好于任何信用债的，也就是说利率债的得分应该高于任何信用债。
另外，由于我的模型得分是以0分为及格线的，领导想要的百分制得分是以60分为及格线的，如果简单地进行线性处理，那我的及格线在百分制下就是50分，因此不能简单地线性处理。
三、分析问题
现在需要找到一个函数
，能够将我的模型的得分映射到一个0~100%的“左闭右开的区间”，然后补上正无穷这个点，令其取值为100%。
首先我的模型得分的区间是[-4.5,5.5]，归一化后是[0,1]，那利率债的得分只能是我的得分趋于正无穷的时候，因此需要找到一个单调增加的连续函数，将[0,1]映射到[0,100%)，同时补上一个无穷点，令其取值为100%。
但是，这种连续函数真的存在吗？利用连续统假设中的有界数列必有收敛子列这一条，用反证法，假设存在这样的函数，然后利用选择公理构建序列
，使得
，然后取收敛子列
，则当该子列趋于
时，有其函数值
，矛盾。所以不存在这样的函数。值得注意的是，整个证明过程没有用到单调性这个条件。
据说有一种瑕积分可以让“某个点”的积分值非零，然后可以通过这个来做出来一个变上限函数。但是，杀鸡焉用牛刀？用初等函数不香吗？
如果换一种思路，如果把[0,1]连续映射到[0,100%-ε]，让ε>0很小，同时把[0,+∞)连续映射到[0,100%)，最后补上正无穷这个点的值为100%，这让领导“看起来”是连续的，不就可以了吗？顺着这个思路，提取对于这个函数的要求：
寻找
，使得：
- 单调增加
- 曲线
须经过
，其中
，
均是已知数
需要解释的是
- 第二条中的
是指的让模型得分的最高分对应的百分数相较于100%而言，少了多少。所以
- 第三条的意思是要求函数有水平的渐近线。
- 最后一条是指的及格线，我的模型得分的及格线是
，领导希望的及格线是
（通常是60分，即
）。
考虑到有水平渐近线的初等函数有：负指数幂函数、指数函数、反正切函数（大于0时），因此从这些函数开始下手。
四、解决问题
1、以指数函数为基础
不可行，因为要求中有4个对于函数值的约束条件，而参数至多只可能有3个。
不可行，经尝试似乎并非对于任何和
均可取到值，如
2、负指数幂函数
不可行，经尝试似乎并非对于任何和
均可取到值，如
3、反正切函数
不太可行，主要是因为函数的凸度不可能由内部的一次函数控制。而且从求解上看，只能有数值解，没有解析解。
4、反比例函数与幂函数的复合
代入条件后解得：
将、
代入，得到曲线
缺点是无法控制曲线的形态，即无法控制我的模型得分与百分制得分对应的疏密。
5、扩展的反比例函数与幂函数的复合（当前最佳）
其中是控制曲线形态的参数，是需要人工输入的值。
与原相比，它是本曲线于
处的一个特例。
代入条件后解得：
将、
代入，得到曲线
也就是说，当越小时，及格线附近的百分制得分越稀疏；当
越大时，及格线附近的百分制得分越密集。由此可以较为精细地控制模型得分与百分制得分的关系。
五、结论
用曲线
（其中）
来对归一化后的模型打分进行百分制转换是比较好的选择。其中，是模型输出得分的归一化后的数值，
代表百分制得分（
的取值在0~1，需要乘以100后得到百分制），
负责控制及格线的对应关系，
负责控制模型满分与100分的接近程度，
是手工调整项，负责模型得分与百分制得分在及格线附近的疏密关系。
曲线形态和疏密程度的测试图表如下所示：
不同的曲线形态（由β值控制）
百分制得分的疏密程度（由β值控制）
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