常见的常微分方程题型

1. 分类说明

由于题型种类与解题方法的多样性，此处的分类比较混乱。部分按方程的类型分类（如线性、非线性，齐次、非齐次），部分按解法分类（如可分离变量，可降阶），还有按其特定命名分类（如伯努利方程和欧拉方程）。

因此，需要特别说明的是，同一分支下的不同类别并不是严格互斥的。比如说：齐次方程，线性微分方程以及非线性微分方程处于同一级分支。但这并不意味着齐次方程既不是线性微分方程，也不是非线性微分方程。

如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说：方程，按方程类型分类，应为一阶变系数非齐次非线性方程。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指可化为形式的微分方程，两边同时积分便可以求得结果。

2.2 齐次方程及可化为齐次的方程

2.2.1 齐次方程

如果一阶微分方程可化为的形式，那么就称为齐次方程。

齐次方程的求解

齐次方程的一个重要特征是，每一项关于x、y的次数和是相等的。如、、都是二次项，、、都可以看做一次项。因此，方程可以用求解齐次方程的方法进行求解。

2.2.2 可化为齐次的方程

可化为齐次的方程的求解

2.3 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的解法

值得注意的是与一个没有负号，一个有负号。

2.4 伯努利方程

伯努利方程

3. 高阶微分方程

高阶微分方程是指二阶及二阶以上的微分方程。

3.1 可降阶的高阶微分方程

3.1.1 型微分方程

型微分方程

3.1.2 型的微分方程

型的微分方程

3.1.3 型的微分方程

型的微分方程

容易注意到，可降阶的微分方程中缺少了部分元素。型微分方程缺少了、、、。型的微分方程缺少了。型的微分方程缺少了。也因此。后两种类型的微分方程在令后，一个继续求对的导数，另一个则变为了求对的导数。

3.2 常系数齐次线性微分方程

形如，同时均为常数的方程叫常系数齐次线性微分方程。

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 n阶常系数齐次线性微分方程求解方法

3.3  常系数非齐次线性微分方程

形如，同时均为常数的方程叫常系数非齐次线性微分方程。

3.3.1 型

型

3.3.2 型

型

3.3.3 一般类型

当为一般类型的时候，可以使用常数变易法对其进行求解。如便可以使用常数变易法对其求解。

常数变易法

3.4 欧拉方程

欧拉方程

4. 常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程组求解

注意，对于常系数线性微分方程组的一般题型，使用微分算子结合行列式解题比较容易。

5. 常微分方程的常见题型的解题思路总结

对于常规的题型来说，先判断其方程形式，然后按部就班的使用相应的解法即可得到结果。因此，需要对各个类型的求解方式了然于胸，没有什么捷径可走。