https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=2

1. 向量

• 线性相关，向量的加法和乘法
• 线性变换：保持直线，原点固定，即保持网格线平行且等距分布
• 想象一个网格线变换
• 从右往左读 ，两个向量相乘，右边的向量的每一列是基底，左边的是变换矩阵
• 到三维也是一样

2. 行列式

• 空间定向发生变化时行列式为负数，二维像翻过来一样，行列式代表面积，三维用右手定则，食指是i中指是j拇指是k，行列式代表平行六面体体积

5. 逆矩阵，列空间和零空间

• 只要det(A) != 0 A-1存在

• 如果det(A) = 0 空间被压缩到低的维度，这时候没有逆变换，一个单独的向量会映射出多个向量，如果正好v向量正好在压缩的直线上有解否则无解

  
  

• rank秩 代表着变换后空间的维数，如果变换后为直线那么是1，如果是平面，为2

  
  
• 变换后的基向量张成的空间，即列张成的空间，称为列空间，解在不在这个空间上代表有没有可行解

• 零空间或者核，变换后落在原点的向量集合，对于线性方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程的所有可能解

  
  
• 非方矩阵
  • 从二维空间映射到三维空间

7. 点积与对偶性

• 点积与投影的关系，点积等于一个向量到另一个向量的投影的长度与另一个向量的长度相乘
• 定义一个二维向量到数轴的变换[ux,uy] ux = i-hatcos theta uy = y-hatsin theta
  
• 通过空间投影到数轴上来定义点积
• 一个线性变换能找到一个对偶向量，来使线性变换的乘积等于与对偶向量的点积
• 一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量

8. 叉积

• 两个向量的叉乘等于这两个向量组成的变换矩阵的行列式det，基向量i在左数值为正，否则为负

• 叉积的定义，用右手定则决定垂直的方向

  
  
  

• 对偶方法

  
  
  

9. 基变换

• v向量就是在她的坐标系下的坐标，从她的角度变为我们的角度再变换再回到他们的角度

10. 特征值和特征向量

• 特征向量就是线性变换中不变方向只伸缩的向量，而伸缩的大小就是特征值

  
  

• 如果特征向量为0，恒等，如果不为0，只有det(A-nameta*I) = 0才存在

  
  
• 转化为不同的基向量（基向量是特征向量）来做，这样就变成了特征基，做乘法很方便