巧用补形法解决立体几何问题

割与补的方法是数学中常用的一种独特方法。通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系。这种方法蕴含理一种构造思想，同时也反映理对立统一的辩证思想。因此，立体几何中运用割补法解题，特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解，有时解起来还比较容易.

方法一 补形法

用补形法解决立体几何问题

使用情景：用补形法解决立体几何问题
解题步骤：

第一步 首先把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；
第二步 然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步 得出结论.

【例】．如图1，、分别是矩形的边、的中点，是上的一点，将、分别沿、翻折成，，并连结，使得平面平面，，且，连结，如图2。

（Ⅰ）证明:平面平面
（Ⅱ）当，，时，求直线和平面所成的角的正弦值。

【分析】

仔细观察图形和对照已知条件，依题意：面，面，面，面面互相垂直，通过补形可知图形是长方体中的一部分。

【解析】

（Ⅰ），面，面

平面平面。
（Ⅱ）长方体的三共点棱，，，

又可推得，，，，，

又面面，割去长方体的其它部分只看三棱维，

如图，作于，连，

可知为所求。

考虑的面积有：

，

于是.

【总结】此题的关键在于根据已知条件构造长方体模型，并根据长方体模型对其进行求解．

方法二 分割法

用分割法解决立体几何问题

使用情景：用分割法解决立体几何问题
解题步骤：

第一步 首先把复杂的或不熟悉的几何体，割分为简单的或熟悉的几何体；
第二步 然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步 得出结论.
【例】. 如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为（ ）

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】

连接，可得到三棱锥，我们把这个正方体的其它部分都割去就剩下这个三棱锥，

可知所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。

这个三棱锥底面为直角边为与的直角三角形。

这个三棱锥又可视为，后者高为，底为腰是的等腰直角三角形，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B

【总结】求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑为的中点，故将要求的距离与到面的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥而进行解题。