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第2课 矩阵消元

第2课 矩阵消元

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-06-01 10:58 被阅读0次

大纲

  • 讨论方程组，然后求解
  • 求解方式为消元法
  • 回代
  • 消元矩阵
  • 消元法的奏效情况与无效情况

第一部分

例：
方程组：
\begin{cases} x+2y+z&=2 \\ 3x+8y+z&=12 \\ 4y+z&=2 \end{cases}
矩阵：
A=\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}

以下进行消元：

  • 其中A_{11}为主元一，保持不变：
  • 第一步代号为（2，1），目的将A_{21}消为0，得到主元二。row2-row1*3 得\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}
  • 第二步代号为（3，2），目的将A_{32}消为0,得到主元三。row3-row2*2 得\underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&0&5\end{bmatrix}}_{U}
  • 其中A_{11}=1 A_{22}=2 A_{33}=5为三个主元。
  • 消元的目的是从A \implies U，找到三个主元，主元不能为0。U为上三角阵。
  • A的行列式=各主元的积=1*2*5=10
  • 将 \underbrace{ \begin{bmatrix}2\\12\\2\end{bmatrix}}_{b} 进行与A一样的倍数操作得到\underbrace{\begin{bmatrix}2\\6\\-10\end{bmatrix}}_{c}

回代

  • 将原方程用U与c代入得：
    x+2x+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10
  • 从消元\implies​回代：求解方程组

第二部分 消元矩阵（矩阵的线性组合）

计算方式：
列乘法：
\begin{pmatrix} \cdots&\cdots&\cdots\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \cdots&\cdots&\cdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3*col_{1}\\4*col_{2}\\5*col_{3}\end{pmatrix}

\underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}}_{B}

\underbrace{1}_{A11}\underbrace{\left[\begin{matrix} 1 \\-3\\0\end{matrix}\right]}_{E21_{col1}}+ \underbrace{3}_{A21}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right]}_{E21_{col2}}+ \underbrace{0}_{A31}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right]}_{E21_{col3}}= \underbrace{\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]}_{B_{col1}}

\underbrace{2}_{A12}\underbrace{\left[\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\right]}_{E21_{col1}}+ \underbrace{8}_{A22}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]}_{E21_{col2}}+ \underbrace{4}_{A32}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]}_{E21_{col3}}= \underbrace{\left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\right]}_{B_{col2}}

\underbrace{1}_{A13}\underbrace{\left[\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\right]}_{E21_{col1}}+ \underbrace{1}_{A23}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]}_{E21_{col2}}+ \underbrace{1}_{A33}\underbrace{\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]}_{E21_{col3}}= \underbrace{\left[\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\right]}_{B_{col3}}

行乘法：
\begin{pmatrix}1&2&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cdots&\cdots&\cdots\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \cdots&\cdots&\cdots \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1*row_{1}&2*row_{2}&7*row_{3}\end{pmatrix}
\underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}}_{B}

\underbrace{1}_{E21_{11}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}_{A_{row1}}+ \underbrace{0}_{E21_{12}} \underbrace{\begin{bmatrix} 3&8&1\end{bmatrix}}_{A_{row2}}+ \underbrace{0}_{E21_{13}} \underbrace{\begin{bmatrix} 0&4&1\end{bmatrix}}_{A_{row3}}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}_{B_{row1}}
\underbrace{-3}_{E21_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}_{A_{row1}} + \underbrace{1}_{E21_{22}} \underbrace{\begin{bmatrix} 3&8&1\end{bmatrix}}_{A_{row2}}+ \underbrace{0}_{E21_{23}} \underbrace{\begin{bmatrix} 0&4&1\end{bmatrix}}_{A_{row3}}= \underbrace{\begin{bmatrix}0&2&-2\end{bmatrix}}_{B_{row2}}
\underbrace{0}_{E21_{31}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}_{A_{row1}} + \underbrace{0}_{E21_{32}} \underbrace{\begin{bmatrix} 3&8&1\end{bmatrix}}_{A_{row2}}+ \underbrace{1}_{E21_{33}} \underbrace{\begin{bmatrix} 0&4&1\end{bmatrix}}_{A_{row3}}= \underbrace{\begin{bmatrix}0&4&1\end{bmatrix}}_{B_{row3}}
用以上行乘法或列乘法消元第三行第二列为0：
\underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}_{E_{32}} \begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&0&5\end{bmatrix}}_{U}
E_{32}(E_{21}A)=U

其中E_{21}为初等变换，消行2，列1为 0；E_{32}为初等变换，消行3，列2为 0；

置换矩阵P
  • A_{n*n}的置换矩阵P的数量个数为n^2，其中包括单位阵I在内
  • 置换A的两行，行置换置换矩阵P在A的左侧
    \underbrace{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}_{P} \underbrace{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}_{A}= \begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}
  • 置换A的两列，列置换置换矩阵P在A的右侧
    \underbrace{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}_{P}=\begin{bmatrix}b&a\\d&c\end{bmatrix}

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