本节以今天leetcode打卡题为例来介绍下BFPRT算法。
最小的k个数
输入整数数组 arr ，找出其中最小的 k 个数。例如，输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。
示例 1：
输入：arr = [3,2,1], k = 2
输出：[1,2] 或者 [2,1]
示例 2：
输入：arr = [0,1,2,1], k = 1
输出：[0]
限制：
0 <= k <= arr.length <= 10000
0 <= arr[i] <= 10000
这个题很简单，常规做法，排序后选择k个数。
方法一
使用C++自带的sort函数。
class Solution {
public:
vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
sort(arr.begin(),arr.end());
if(k==0){
return {};
}
vector<int> res(arr.begin(),arr.begin()+k);
return res;
}
};
方法二
使用堆排序方法。
class Solution {
public:
vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
vector<int> res;
if(k == 0){
return res;
}
priority_queue<int> h;
for(int num : arr){
if(h.size() < k){
h.push(num);
}else{
if(h.top() <= num){
continue;
}else{
h.pop();
h.push(num);
}
}
}
while(!h.empty()){
res.push_back(h.top());
h.pop();
}
return res;
}
};
有关priority_queue可以参考往期博客。
这些方法都比较简单，接下来我们将介绍本节重点，BFPRT算法。
BFPRT 算法
分析这个题目，它是一个TOP-K问题，先排序，后选择k个数当然是一种不错的想法。
对于排序，如果使用性能比较好的快速排序，其平均时间复杂度为，最坏时间复杂度为
，如果使用堆排序，需要维护一个大小为k的堆(大顶堆，小顶堆)，时间复杂度为
，但是无论哪种排序方法，对于本题而言，其实会有些多余，因为我们只需要前k个数或者说后n-k个数，那些不需要的数也排序了。
针对这个问题，有一个比较好的算法-BFPTR算法，又称为中位数的中位数算法，它的最坏时间复杂度为。该算法的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。
在BFPTR算法中，改变了快速排序主元素pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。
其算法步骤为：
- 将
个元素划为
组，每组5个，至多只有一组有
个元素。
- 寻找这
个组中每一个组的中位数，这个过程可以用插入排序。
- 对步骤2中的
- 最终剩下的数字即为pivot，把大于它的数全放左边，小于等于它的数全放右边。
- 判断pivot的位置与k的大小，有选择的对左边或右边递归。
求第大与求第
等价。
来看BFPRT算法的程序：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//插入排序
void insert_sort(vector<int>& arr,int l,int r){
for(int i=l+1;i<=r;i++){
if(arr[i-1]>arr[i]){
int t=arr[i];
int j=i;
while(j>l && arr[j-1]>t){
arr[j]=arr[j-1];
j--;
}
arr[j]=t;
}
}
}
//寻找中位数的中位数
int find_mid(vector<int>& arr,int l,int r){
if(l==r){
return l;
}
int i=0,n=0;
for(i=l;i<r-5;i+=5){
insert_sort(arr,i,i+4);
n=i-l;
swap(arr[l+n/5],arr[i+2]);
}
int num=r-i+1;
if(num>0){
insert_sort(arr,i,i+num-1);
n=i-l;
swap(arr[l+n/5],arr[i+num/2]);
}
n=n/5;
if(n==l){
return l;
}
return find_mid(arr,l,l+n);
}
//进行划分过程
int partion(vector<int>& arr,int l,int r,int p){
swap(arr[p],arr[l]);
int i=l;
int j=r;
int pivot=arr[l];
while(i<j){
while(arr[j]>=pivot && i<j){
j--;
}
arr[i]=arr[j];
while(arr[i]<=pivot && i<j){
i++;
}
arr[j]=arr[i];
}
arr[i]=pivot;
return i;
}
int BFPRT(vector<int>& arr,int l,int r,int k){
int p=find_mid(arr,l,r);
int i=partion(arr,l,r,p);
int m=i-l+1;
if(m==k){
return arr[i];
}
if(m>k){
return BFPRT(arr,l,i-1,k);
}
return BFPRT(arr,i+1,r,k-m);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<int> arr(n,0);
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>arr[i];
}
int k;
cin>>k;
cout<<"The "<<k<<"th number is "<<BFPRT(arr,0,n-1,k)<<endl;
for(int a : arr){
cout<<a<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}
测试一下：
10
9 8 2 6 4 7 2 1 3 0
3
The 3th number is 2
0 1 2 2 3 4 6 9 8 7
那么这题的BFPRT解法便是：
class Solution {
public:
vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
if(k==0){
return {};
}
BFPRT(arr,0,arr.size()-1,k);
vector<int> res(arr.begin(),arr.begin()+k);
return res;
}
//插入排序
void insert_sort(vector<int>& arr,int l,int r){
for(int i=l+1;i<=r;i++){
if(arr[i-1]>arr[i]){
int t=arr[i];
int j=i;
while(j>l && arr[j-1]>t){
arr[j]=arr[j-1];
j--;
}
arr[j]=t;
}
}
}
//寻找中位数的中位数
int find_mid(vector<int>& arr,int l,int r){
if(l==r){
return l;
}
int i=0,n=0;
for(i=l;i<r-5;i+=5){
insert_sort(arr,i,i+4);
n=i-l;
swap(arr[l+n/5],arr[i+2]);
}
int num=r-i+1;
if(num>0){
insert_sort(arr,i,i+num-1);
n=i-l;
swap(arr[l+n/5],arr[i+num/2]);
}
n=n/5;
if(n==l){
return l;
}
return find_mid(arr,l,l+n);
}
//进行划分过程
int partion(vector<int>& arr,int l,int r,int p){
swap(arr[p],arr[l]);
int i=l;
int j=r;
int pivot=arr[l];
while(i<j){
while(arr[j]>=pivot && i<j){
j--;
}
arr[i]=arr[j];
while(arr[i]<=pivot && i<j){
i++;
}
arr[j]=arr[i];
}
arr[i]=pivot;
return i;
}
int BFPRT(vector<int>& arr,int l,int r,int k){
int p=find_mid(arr,l,r);
int i=partion(arr,l,r,p);
int m=i-l+1;
if(m==k){
return arr[i];
}
if(m>k){
return BFPRT(arr,l,i-1,k);
}
return BFPRT(arr,i+1,r,k-m);
}
};
结果：
图片.png
本文参考了：
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