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习题六

习题六

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-16 17:20 被阅读0次

习题六

1

2

求 3^{400} (十进制表示中) 的末两位数码.

Sol:
要求末两位数码，对 3^{400} 模100即可
易知 (3^{10},100)=1，又 \varphi(100)=40，由欧拉定理知
(3^{10})^{40}\equiv1\pmod{100}
所以 3^{400} 的末两位数码为 01.

4

设 m,n 为正整数，(m,n)=1. 证明：
m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{mn}

Sol:
由欧拉定理有：
m^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}
得
m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{n}
n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}
得
m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}
所以有 m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{mn}

5

设 (a,10)=1 证明：a^{20}\equiv1\pmod{100}

Sol:
因为 (a,10)=1，所以有 (a,4)=1,\,(a,25)=1
且 \varphi(4)=2,\,\varphi(25)=20
由欧拉定理有
a^2\equiv1\pmod{4}
a^{20}\equiv1\pmod{25}
得
a^{20}\equiv1\pmod{4}
又 (4,25)=1,\,[4,25]=100
所以有 a^{20}\equiv1\pmod{100}

整数与多项式-【目录】

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